IDEA激活码平衡二叉查找树-AVL树代码实现
什么是“平衡二叉查找树”？
平衡二叉树的严格定义是这样的：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于1。完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。
平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL树，它严格符合我刚讲到的平衡二叉查找树的定义，即任何节点的左右子树高度相差不超过1，是一种高度平衡的二叉查找树。
AVL树
AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是计算机科学中最早被发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中，任一节点对应的两棵子树的最大高度差为1，因此它也被称为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(logN)。增加和删除元素的操作则可能需要借由一次或多次树旋转，以实现树的重新平衡。AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和Evgenii Landis（英语：E. M. Landis），他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中公开了这一数据结构。
节点的平衡因子是它的左子树的高度减去它的右子树的高度（有时相反）。带有平衡因子1、0或 -1的节点被认为是平衡的。带有平衡因子 -2或2的节点被认为是不平衡的，并需要重新平衡这个树。平衡因子可以直接存储在每个节点中，或从可能存储在节点中的子树高度计算出来。
基础代码
import java.util.Comparator;
public class AVLTree<E> extends BST<E> {
public AVLTree() {
this(null);
}
public AVLTree(Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
}
//重写该方法，AVL树Node节点有height属性，在添加AVL树节点的时候，使用AVL树的节点信息
@Override
protected Node<E> createNode(E element, Node<E> parent) {
return new AVLNode<>(element, parent);
}
//TODO待完善
@Override
protected void afterAdd(Node<E> node) {
// TODO 更新高度
// TODO 恢复平衡
// TODO 整棵树恢复平衡
}
//判断是否平衡
private boolean isBalanced(Node<E> node) {
return Math.abs(((AVLNode<E>) node).balanceFactor()) <= 1;
}
private static class AVLNode<E> extends Node<E> {
int height = 1;//加入高度属性
public AVLNode(E element, Node<E> parent) {
super(element, parent);
}
//返回节点平衡因子
public int balanceFactor() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
return leftHeight - rightHeight;
}
//更新AVL节点高度
public void updateHeight() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
height = 1 + Math.max(leftHeight, rightHeight);
}
//返回高度比较高的子节点
public Node<E> tallerChild() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
if (leftHeight > rightHeight) return left;
if (leftHeight < rightHeight) return right;
return isLeftChild() ? left : right;//高度相同的情况，返回同方向的节点
}
@Override
public String toString() {
String parentString = "null";
if (parent != null) {
parentString = parent.element.toString();
}
return element + "_p(" + parentString + ")_h(" + height + ")";
}
}
}
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普通二叉搜索树与AVL树平衡对比
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添加导致的失衡
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@Override
protected void afterAdd(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
// 恢复平衡
rebalance(node);//此时寻找到的node为不平衡的节点，即下面分析中的grand(祖父节点)
// 整棵树恢复平衡
break;
}
}
}
/**
* 恢复平衡
*
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rebalance(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>) grand).tallerChild();//祖父节点高度高的子节点为parent节点
Node<E> node = ((AVLNode<E>) parent).tallerChild();//parent节点高度高的子节点为参与旋转的node节点
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotateRight(grand);
} else { // LR
rotateLeft(parent);
rotateRight(grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotateRight(parent);
rotateLeft(grand);
} else { // RR
rotateLeft(grand);
}
}
}
LL型节点失衡
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LL型失衡-右旋转调整失衡
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private void rotateRight(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.left;
Node<E> child = parent.right;
grand.left = child;
parent.right = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void afterRotate(Node<E> grand, Node<E> parent, Node<E> child) {
// 让parent称为子树的根节点
parent.parent = grand.parent;
if (grand.isLeftChild()) {
grand.parent.left = parent;
} else if (grand.isRightChild()) {
grand.parent.right = parent;
} else { // grand是root节点
root = parent;
}
// 更新child的parent
if (child != null) {
child.parent = grand;
}
// 更新grand的parent
grand.parent = parent;
// 更新高度
updateHeight(grand);
updateHeight(parent);
}
RR型节点失衡
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RR型失衡-左旋转调整失衡
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左旋转操作
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private void rotateLeft(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.right;
Node<E> child = parent.left;
grand.right = child;
parent.left = grand;
// 让parent称为子树的根节点
parent.parent = grand.parent;
if (grand.isLeftChild()) {
grand.parent.left = parent;
} else if (grand.isRightChild()) {
grand.parent.right = parent;
} else { // grand是root节点
root = parent;
}
// 更新child的parent
if (child != null) {
child.parent = grand;
}
// 更新grand的parent
grand.parent = parent;
// 更新高度
updateHeight(grand);
updateHeight(parent);
}
LR型节点失衡
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LR型节点失衡 - RR左旋转，LL右旋转(双旋)
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LR型节点失衡
image-20210602212905553
RL - LL右旋转，RR左旋转(双旋)
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统一所有旋转操作
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/**
* 恢复平衡
*
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rebalance(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>) grand).tallerChild();
Node<E> node = ((AVLNode<E>) parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotate(grand, node, node.right, parent, parent.right, grand);
} else { // LR
rotate(grand, parent, node.left, node, node.right, grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotate(grand, grand, node.left, node, node.right, parent);
} else { // RR
rotate(grand, grand, parent.left, parent, node.left, node);
}
}
}
private void rotate(
Node<E> r, // 子树的根节点
Node<E> b, Node<E> c,
Node<E> d,
Node<E> e, Node<E> f) {
// 让d成为这棵子树的根节点
d.parent = r.parent;
if (r.isLeftChild()) {
r.parent.left = d;
} else if (r.isRightChild()) {
r.parent.right = d;
} else {
root = d;
}
//b-c
b.right = c;
if (c != null) {
c.parent = b;
}
updateHeight(b);
// e-f
f.left = e;
if (e != null) {
e.parent = f;
}
updateHeight(f);
// b-d-f
d.left = b;
d.right = f;
b.parent = d;
f.parent = d;
updateHeight(d);
}
删除导致的失衡
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删除-LL型失衡-右旋转调整失衡
image-20210603182625342
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删除-RR型失衡-左旋转调整失衡
image-20210603183008896
image-20210603183043030
删除-LR型节点失衡 - RR左旋转，LL右旋转(双旋)
image-20210603183128084
删除-RL - LL右旋转，RR左旋转(双旋)
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protected void afterRemove(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
}
}
}
- 二叉树基础代码
public class BinaryTree<E> {
protected int size;
protected Node<E> root;//二叉树的根节点
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
public void clear() {
root = null;
size = 0;
}
public boolean isComplete() {//是否完全二叉树
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
} else if (node.right != null) {
return false;
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
} else { // 后面遍历的节点都必须是叶子节点
leaf = true;
}
}
return true;
}
public int height() {
if (root == null) return 0;
// 树的高度
int height = 0;
// 存储着每一层的元素数量
int levelSize = 1;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
levelSize--;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
if (levelSize == 0) { // 意味着即将要访问下一层
levelSize = queue.size();
height++;
}
}
return height;
}
private int height(Node<E> node) {
if (node == null) return 0;
return 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));
}
protected Node<E> createNode(E element, Node<E> parent) {
return new Node<>(element, parent);
}
//返回node节点的前驱节点
protected Node<E> predecessor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
// 前驱节点在左子树当中（left.right.right.right....）
Node<E> p = node.left;
if (p != null) {
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中寻找前驱节点
while (node.parent != null && node == node.parent.left) {
node = node.parent;
}
// node.parent == null
// node == node.parent.right
return node.parent;
}
//返回node节点的后继节点
protected Node<E> successor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
// 后继点在右子树当中（right.left.left.left....）
Node<E> p = node.right;
if (p != null) {
while (p.left != null) {
p = p.left;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中寻找后继节点
while (node.parent != null && node == node.parent.right) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}
protected static class Node<E> {
E element;
Node<E> left;
Node<E> right;
Node<E> parent;
public Node(E element, Node<E> parent) {
this.element = element;
this.parent = parent;
}
public boolean isLeaf() {//是否叶子
return left == null && right == null;
}
public boolean hasTwoChildren() {//是否拥有左右孩子
return left != null && right != null;
}
public boolean isLeftChild() {
return parent != null && this == parent.left;
}
public boolean isRightChild() {
return parent != null && this == parent.right;
}
//返回兄弟节点
public Node<E> sibling() {//
if (isLeftChild()) {
return parent.right;
}
if (isRightChild()) {
return parent.left;
}
return null;
}
}
}
- 二叉搜索树-代码
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值 这个定义定义了二叉树添加节点和删除节点的要求。
所以二叉搜索树继承于二叉树，实现了add和remove方法
public void add(E element)public void remove(E element)
public class BST<E> extends BinaryTree<E> {
private Comparator<E> comparator;
public BST() {
this(null);
}
public BST(Comparator<E> comparator) {
this.comparator = comparator;
}
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
// 添加第一个节点
if (root == null) {
root = createNode(element, null);
size++;
// 新添加节点之后的处理
afterAdd(root);
return;
}
// 添加的不是第一个节点
// 找到父节点
Node<E> parent = root;
Node<E> node = root;
int cmp = 0;
do {
cmp = compare(element, node.element);
parent = node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) {
node = node.left;
} else { // 相等
node.element = element;
return;
}
} while (node != null);
// 看看插入到父节点的哪个位置
Node<E> newNode = createNode(element, parent);
if (cmp > 0) {
parent.right = newNode;
} else {
parent.left = newNode;
}
size++;
// 新添加节点之后的处理
afterAdd(newNode);
}
/**
* 添加node之后的调整
* @param node 新添加的节点
*/
protected void afterAdd(Node<E> node) { }
/**
* 删除node之后的调整
* @param node 被删除的节点
*/
protected void afterRemove(Node<E> node) { }
public void remove(E element) {
remove(node(element));
}
public boolean contains(E element) {
return node(element) != null;
}
private void remove(Node<E> node) {
if (node == null) return;
size--;
if (node.hasTwoChildren()) { // 度为2的节点
// 找到后继节点
Node<E> s = successor(node);
// 用后继节点的值覆盖度为2的节点的值
node.element = s.element;
// 删除后继节点
node = s;
}
// 删除node节点（node的度必然是1或者0）
Node<E> replacement = node.left != null ? node.left : node.right;
if (replacement != null) { // node是度为1的节点
// 更改parent
replacement.parent = node.parent;
// 更改parent的left、right的指向
if (node.parent == null) { // node是度为1的节点并且是根节点
root = replacement;
} else if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = replacement;
} else { // node == node.parent.right
node.parent.right = replacement;
}
// 删除节点之后的处理
afterRemove(node);
} else if (node.parent == null) { // node是叶子节点并且是根节点
root = null;
// 删除节点之后的处理
afterRemove(node);
} else { // node是叶子节点，但不是根节点
if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = null;
} else { // node == node.parent.right
node.parent.right = null;
}
// 删除节点之后的处理
afterRemove(node);
}
}
//查找节点方法
private Node<E> node(E element) {
Node<E> node = root;
while (node != null) {
int cmp = compare(element, node.element);
if (cmp == 0) return node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else { // cmp < 0
node = node.left;
}
}
return null;
}
/**
* @return 返回值等于0，代表e1和e2相等；返回值大于0，代表e1大于e2；返回值小于于0，代表e1小于e2
*/
private int compare(E e1, E e2) {
if (comparator != null) {
return comparator.compare(e1, e2);
}
return ((Comparable<E>)e1).compareTo(e2);
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
}
AVL-Tree完整代码
import java.util.Comparator;
public class AVLTree<E> extends BST<E> {
public AVLTree() {
this(null);
}
public AVLTree(Comparator<E> comparator) {
super(comparator);
}
@Override
protected void afterAdd(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
// 整棵树恢复平衡
break;
}
}
}
@Override
protected void afterRemove(Node<E> node) {
while ((node = node.parent) != null) {
if (isBalanced(node)) {
// 更新高度
updateHeight(node);
} else {
// 恢复平衡
rebalance(node);
}
}
}
@Override
protected Node<E> createNode(E element, Node<E> parent) {
return new AVLNode<>(element, parent);
}
/**
* 恢复平衡
*
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
@SuppressWarnings("unused")
private void rebalance2(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>) grand).tallerChild();
Node<E> node = ((AVLNode<E>) parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotateRight(grand);
} else { // LR
rotateLeft(parent);
rotateRight(grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotateRight(parent);
rotateLeft(grand);
} else { // RR
rotateLeft(grand);
}
}
}
/**
* 恢复平衡
*
* @param grand 高度最低的那个不平衡节点
*/
private void rebalance(Node<E> grand) {
Node<E> parent = ((AVLNode<E>) grand).tallerChild();
Node<E> node = ((AVLNode<E>) parent).tallerChild();
if (parent.isLeftChild()) { // L
if (node.isLeftChild()) { // LL
rotate(grand, node, node.right, parent, parent.right, grand);
} else { // LR
rotate(grand, parent, node.left, node, node.right, grand);
}
} else { // R
if (node.isLeftChild()) { // RL
rotate(grand, grand, node.left, node, node.right, parent);
} else { // RR
rotate(grand, grand, parent.left, parent, node.left, node);
}
}
}
private void rotate(
Node<E> r, // 子树的根节点
Node<E> b, Node<E> c,
Node<E> d,
Node<E> e, Node<E> f) {
// 让d成为这棵子树的根节点
d.parent = r.parent;
if (r.isLeftChild()) {
r.parent.left = d;
} else if (r.isRightChild()) {
r.parent.right = d;
} else {
root = d;
}
//b-c
b.right = c;
if (c != null) {
c.parent = b;
}
updateHeight(b);
// e-f
f.left = e;
if (e != null) {
e.parent = f;
}
updateHeight(f);
// b-d-f
d.left = b;
d.right = f;
b.parent = d;
f.parent = d;
updateHeight(d);
}
private void rotateLeft(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.right;
Node<E> child = parent.left;
grand.right = child;
parent.left = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void rotateRight(Node<E> grand) {
Node<E> parent = grand.left;
Node<E> child = parent.right;
grand.left = child;
parent.right = grand;
afterRotate(grand, parent, child);
}
private void afterRotate(Node<E> grand, Node<E> parent, Node<E> child) {
// 让parent称为子树的根节点
parent.parent = grand.parent;
if (grand.isLeftChild()) {
grand.parent.left = parent;
} else if (grand.isRightChild()) {
grand.parent.right = parent;
} else { // grand是root节点
root = parent;
}
// 更新child的parent
if (child != null) {
child.parent = grand;
}
// 更新grand的parent
grand.parent = parent;
// 更新高度
updateHeight(grand);
updateHeight(parent);
}
private boolean isBalanced(Node<E> node) {
return Math.abs(((AVLNode<E>) node).balanceFactor()) <= 1;
}
private void updateHeight(Node<E> node) {
((AVLNode<E>) node).updateHeight();
}
private static class AVLNode<E> extends Node<E> {
int height = 1;
public AVLNode(E element, Node<E> parent) {
super(element, parent);
}
public int balanceFactor() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
return leftHeight - rightHeight;
}
public void updateHeight() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
height = 1 + Math.max(leftHeight, rightHeight);
}
public Node<E> tallerChild() {
int leftHeight = left == null ? 0 : ((AVLNode<E>) left).height;
int rightHeight = right == null ? 0 : ((AVLNode<E>) right).height;
if (leftHeight > rightHeight) return left;
if (leftHeight < rightHeight) return right;
return isLeftChild() ? left : right;
}
@Override
public String toString() {
String parentString = "null";
if (parent != null) {
parentString = parent.element.toString();
}
return element + "_p(" + parentString + ")_h(" + height + ")";
}
}
}
