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前言
二叉树算是初阶数据结构的一个新坑吧,不仅仅是因为难度比前面的数据结构提升了一个档次,而且这也是我们学的第一种非线性结构
我们在前面学的数据结构,无论是顺序表还是链表,不管它们在物理中的存储方式如何,它们的逻辑一定是串在一起的。
但是树形结构却不一样,它是一种有层次的结构,其元素具有一对多的特性
所以,相对于以前几期,它是一种全新的数据结构
目录
- 树的概念
-
- 树的定义
- 树的相关名词
- 二叉树的概念
-
- 一些特殊的二叉树
- 二叉树的顺序存储结构——堆
- 堆的实现
-
- 插入和向上调整算法
- 堆的删除与向下调整算法
树的概念
树的定义
要了解二叉树,首先我们要对普通的树有一定的认知
在前言提到过,树是一种非线性数据结构,数据的组织具有层次性
它的定义:始终由根结点(没有前驱结点的结点)和子树构成
所以我们可以知道:树是递归定义的
树的相关名词
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点;
非终端节点或分支节点:度不为0的节点;
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次;
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合
二叉树的概念
定义:二叉树就是度不会大于2的树(即分支数不会大于2的树)
一些特殊的二叉树
满二叉树:每一层的结点达到最大值
完全二叉树:前n-1层是一颗满二叉树,最后一棵树的结点由左到右连续存放
二叉树的顺序存储结构——堆
现在来到了本章的重点,堆
堆是一种在物理上连续存储,但在逻辑上却是一颗二叉树的数据结构
怎么把逻辑结构与物理结构联系起来呢?
这里有几个公式:
通过父亲结点找到孩子结点,设数组开始下标为0:
leftchild=parent2+1
leftchild=parent2+1
这里的child和parent是它们对应的数组下标
通过孩子结点找到父亲结点
parent=(child-1)/2
注意:由于数组元素是连续存放的,所以为了保证数组的空间利用率,堆对应的逻辑结构应该是一棵完全二叉树,(即中间没有空白结点空间)
但是,不是一个普通的数组就是堆的,它需要满足一个特性
根结点的值始终比它的孩子结点的值小(大)
前者叫小堆,后者叫大堆
比如上图,就是一个典型的小堆
堆的实现
由于初始化和销毁等其它函数与线性表的定义一样,因为堆的逻辑结构是个数组,所以这篇文章中不再阐述
重点讲插入和删除
插入和删除我们要遵循一个原则:那就是堆的性质永远不会改变
为了遵循以上原则,我们需要引入向上和向下调整算法
这里我们以小堆为例来创建堆
插入和向上调整算法
我们以这个小堆来举例
首先,插入操作前面与顺序表差不多,需要检查容量
if (hp->size == hp->capacity)
{
int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;//这里是防止堆为空
HPDataType* tmp = realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
if (!tmp)
{
printf("malloc fail\n");
exit(-1);
}
hp->a = tmp;
hp->capacity = newcapacity;
}
插入我们可以直接先在数组的后面插入
hp->a[hp->size] = x;
hp->size++;
比如我们要插入一个数据9,然后逻辑结构就变成了这样
这样,9比34小了,显然不满足小端的特征,所以我们需要向上调整算法,把它调整到满足堆的特征的所在位置
向上调整,只会影响这个结点的祖先结点
思路:与它的父亲结点不断比较,若不满足要求则交换,满足要求就停止算法
图示:
代码:
void AdjustUp(HPDataType* a, int size, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;//这里是算出父亲结点
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])//不满足小堆的要求
{
Swap(&a[child], &a[parent]);//交换操作
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;//这里是遍历孩子与父亲结点
}
else
{
break;
}
}
}
完整的插入代码
void AdjustUp(HPDataType* a, int size, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPush(HP* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
if (hp->size == hp->capacity)
{
int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
HPDataType* tmp = realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
if (!tmp)
{
printf("malloc fail\n");
exit(-1);
}
hp->a = tmp;
hp->capacity = newcapacity;
}
hp->a[hp->size] = x;
hp->size++;
AdjustUp(hp->a, hp->size, hp->size - 1);
}
堆的删除与向下调整算法
注意:这里的删除是直接删除堆顶元素
我们最开始的思路是,能不能像顺序表的头删一样,直接挪动数据来删除呢?
显然是不行的,因为这样会把堆的结构完全打乱,大家可以脑补一下,这里就不图示了
所以我们需要这么删除
先把第一个元素与最后一个元素交换,再进行顺序表尾删,这样保证了前面堆的结构不会被打乱
void HeapPop(HP* hp)
{
assert(hp);
assert(!HeapEmpty(hp));
Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
hp->size--;
}
但我们的77被换上去了,不满足堆的特性了,所以为了满足堆的特性,使用向下调整算法
思路:
先选出左右孩子中较小的孩子(先默认为左孩子,再与右孩子进行比较,若默认结果不成立,就更新孩子结点)
与向上调整算法异曲同工
代码实现
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
assert(a);
int child = parent * 2 + 1;//默认与左孩子交换
while (child < size)
{
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
{
child++;//不满足默认条件就换为右孩子
}
if (a[child] < a[parent])//交换
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
完成删除代码
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
assert(a);
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
{
child++;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPop(HP* hp)
{
assert(hp);
assert(!HeapEmpty(hp));
Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
hp->size--;
AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);
}