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文章目录
- 一、给定级数求生成函数
- 二、给定生成函数求级数
参考博客 :
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
数列的 通项公式 就是 级数
一、给定级数求生成函数
求
b
n
=
7
⋅
3
n
b_n = 7\cdot 3^n
bn=7⋅3n 的生成函数 ;
已知数列是
1
n
1^n
1n , 对应的生成函数是
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,
a
n
=
1
n
a_n = 1^n
an=1n ;
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
1
−
x
\begin{aligned} A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
先根据 数列 通项表示 , 写出级数之和 :
G
(
x
)
=
7
×
3
0
x
0
+
7
×
3
1
x
1
+
7
×
3
2
x
2
+
⋯
+
7
×
3
n
x
n
+
⋯
G(x) = 7 \times 3^0x^0 + 7 \times 3^1x^1 + 7 \times 3^2x^2 + \cdots + 7 \times 3^nx^n + \cdots
G(x)=7×30x0+7×31x1+7×32x2+⋯+7×3nxn+⋯
将常数提取到外部 :
G
(
x
)
=
7
(
3
0
x
0
+
3
1
x
1
+
3
2
x
2
+
⋯
+
3
n
x
n
+
⋯
)
G(x) = 7 ( 3^0x^0 + 3^1x^1 + 3^2x^2 + \cdots + 3^nx^n + \cdots )
G(x)=7(30x0+31x1+32x2+⋯+3nxn+⋯)
写成合式 :
G
(
x
)
=
7
∑
n
=
0
∞
3
n
x
n
G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty 3^nx^n
G(x)=7n=0∑∞3nxn
根据生成函数换元性质 : 通过换元 , 将
3
x
3x
3x 看做一项 :
G
(
x
)
=
7
∑
n
=
0
∞
(
3
x
)
n
G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n
G(x)=7n=0∑∞(3x)n
根据 常用生成函数
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
1
−
x
A(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = \cfrac{1}{1-x}
A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
可以得出 :
∑
n
=
0
∞
(
3
x
)
n
=
1
1
−
3
x
\sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n =\cfrac{1}{1-3x}
n=0∑∞(3x)n=1−3x1
根据生成函数线性性质 , 乘法性质 :
b
n
=
α
a
n
b_n = \alpha a_n
bn=αan , 则
B
(
x
)
=
α
A
(
x
)
B(x) = \alpha A(x)
B(x)=αA(x)
可以得出最终的生成函数
G
(
x
)
=
7
∑
n
=
0
∞
(
3
x
)
n
=
7
1
−
3
x
G(x) = 7 \sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n = \cfrac{7}{1-3x}
G(x)=7n=0∑∞(3x)n=1−3x7
二、给定生成函数求级数
给定序列
{
b
n
}
\{b_n\}
{bn} 的生成函数
G
(
x
)
=
2
1
−
3
x
+
2
x
2
G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}
G(x)=1−3x+2x22 , 求
{
b
n
}
\{b_n\}
{bn}
先将 生成函数 转化为 其它 生成函数 之和 ;
G
(
x
)
=
2
1
−
3
x
+
2
x
2
G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}
G(x)=1−3x+2x22
将
1
−
3
x
+
2
x
2
1-3x + 2x^2
1−3x+2x2 分解因式 , 分解为
(
1
−
x
)
(
1
−
2
x
)
(1-x)(1-2x)
(1−x)(1−2x)
将其转为 如下形式的和 , 分子
A
,
B
A,B
A,B 是待定常数 ;
G
(
x
)
=
2
1
−
3
x
+
2
x
2
=
A
1
−
x
+
B
1
−
2
x
G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x}
G(x)=1−3x+2x22=1−xA+1−2xB
将上述式子同分 , 表达成
A
,
B
A, B
A,B 的分式 :
G
(
x
)
=
A
1
−
x
+
B
1
−
2
x
=
A
(
1
−
2
x
)
+
B
(
1
−
x
)
(
1
−
x
)
(
1
−
2
x
)
G(x) = \cfrac{A}{1-x} + \cfrac{B}{1-2x} = \cfrac{A(1-2x) + B(1-x)}{(1-x)(1-2x)}
G(x)=1−xA+1−2xB=(1−x)(1−2x)A(1−2x)+B(1−x)
=
A
−
2
A
x
+
B
−
B
x
(
1
−
x
)
(
1
−
2
x
)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{A-2Ax + B- Bx}{(1-x)(1-2x)}
=(1−x)(1−2x)A−2Ax+B−Bx
=
(
A
+
B
)
−
(
2
A
+
B
)
x
(
1
−
x
)
(
1
−
2
x
)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{(1-x)(1-2x)}
=(1−x)(1−2x)(A+B)−(2A+B)x
=
(
A
+
B
)
−
(
2
A
+
B
)
x
1
−
3
x
+
2
x
2
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{(A + B) - (2A + B ) x}{1-3x + 2x^2}
=1−3x+2x2(A+B)−(2A+B)x
与
G
(
x
)
=
2
1
−
3
x
+
2
x
2
G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2}
G(x)=1−3x+2x22 的分子的
x
x
x 项 与 常数项 对比 :
x
x
x 一次方项是
0
0
0 , 即
2
A
+
B
=
0
2A + B = 0
2A+B=0
常数项是
2
2
2 , 即
A
+
B
=
2
A + B = 2
A+B=2
得到方程组 :
{
A
+
B
=
2
2
A
+
B
=
0
\begin{cases} A + B = 2 \\\\ 2A + B = 0 \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧A+B=22A+B=0
解上述方程组 , 得到结果 :
{
A
=
−
2
B
=
4
\begin{cases} A = -2 \\\\ B = 4 \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧A=−2B=4
则生成函数最终分解成了 :
G
(
x
)
=
2
1
−
3
x
+
2
x
2
=
−
2
1
−
x
+
4
1
−
2
x
G(x) = \cfrac{2}{1-3x + 2x^2} = \cfrac{-2}{1-x} + \cfrac{4}{1-2x}
G(x)=1−3x+2x22=1−x−2+1−2x4
使用线性性质 :
−
2
1
−
x
\cfrac{-2}{1-x}
1−x−2 对应的级数是 :
∑
n
=
0
∞
(
−
2
)
x
n
\sum\limits_{n=0}^\infty(-2)x^n
n=0∑∞(−2)xn , 数列通项是
c
n
=
−
2
c_n=-2
cn=−2 ;
使用线性性质 , 换元性质 :
4
1
−
2
x
\cfrac{4}{1-2x}
1−2x4 对应的级数是 :
∑
n
=
0
∞
4
(
2
x
)
n
=
∑
n
=
0
∞
4
⋅
2
n
x
n
\sum\limits_{n=0}^\infty4(2x)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty4\cdot 2^nx^n
n=0∑∞4(2x)n=n=0∑∞4⋅2nxn , 数列通项是
4
⋅
2
n
4\cdot 2^n
4⋅2n
最终的数列是 :
b
n
=
−
2
+
4
⋅
2
n
b_n = -2 + 4\cdot 2^n
bn=−2+4⋅2n
