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文章目录
- 一、生成函数换元性质
- 二、生成函数求导性质
- 三、生成函数积分性质
参考博客 :
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
一、生成函数换元性质
生成函数求和性质 1 :
b
n
=
α
n
a
n
b_n = \alpha^n a_n
bn=αnan , 则
B
(
x
)
=
A
(
α
x
)
B(x) =A( \alpha x)
B(x)=A(αx)
数列
a
n
a_n
an 的生成函数是
A
(
x
)
A(x)
A(x) , 数列
b
n
b_n
bn 的生成函数是
B
(
x
)
B(x)
B(x) ,
数列
a
n
=
{
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
}
a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots \}
an={a0,a1,a2,⋯} , 数列
b
n
=
{
α
0
a
0
,
α
1
a
1
,
α
2
a
2
,
⋯
}
b_n = \{ \alpha^0a_0 , \alpha^1a_1, \alpha^2a_2 , \cdots \}
bn={α0a0,α1a1,α2a2,⋯} ;
数列
a
n
a_n
an 的生成函数
A
(
x
)
=
a
0
x
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots
A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯
数列
b
n
b_n
bn 的生成函数
B
(
x
)
=
α
0
a
0
x
0
+
α
1
a
1
x
1
+
α
2
a
2
x
2
+
⋯
B(x) = \alpha^0a_0x^0 + \alpha^1a_1x^1 + \alpha^2a_2x^2 + \cdots
B(x)=α0a0x0+α1a1x1+α2a2x2+⋯
证明方法 :
在
b
n
b_n
bn 的生成函数
B
(
x
)
B(x)
B(x) 中 , 将
α
0
x
0
\alpha^0x^0
α0x0 看作一项 , 将
α
1
x
1
\alpha^1x^1
α1x1 看作一项 , 将
α
2
x
2
\alpha^2x^2
α2x2 看作一项 ,
观察上述项可以看出 ,
α
\alpha
α 与
x
x
x 的幂值是相同的 ,
因此可以 将
α
x
\alpha x
αx 看作一个变量 ,
这样通过换元可以得到
B
(
x
)
=
A
(
α
x
)
B(x) =A( \alpha x)
B(x)=A(αx) 公式 ;
二、生成函数求导性质
生成函数求导性质 :
b
n
=
n
a
n
b_n = n a_n
bn=nan , 则
B
(
x
)
=
x
A
′
(
x
)
B(x) =xA'( x)
B(x)=xA′(x)
数列
a
n
a_n
an 的生成函数是
A
(
x
)
A(x)
A(x) , 数列
b
n
b_n
bn 的生成函数是
B
(
x
)
B(x)
B(x) ,
数列
a
n
=
{
a
0
,
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
}
a_n = \{ a_0 , a_1, a_2 , \cdots , a_n , \cdots \}
an={a0,a1,a2,⋯,an,⋯} , 数列
b
n
=
{
0
a
0
,
a
1
,
2
a
2
,
⋯
,
n
a
n
,
⋯
}
b_n = \{ 0a_0 , a_1, 2a_2 , \cdots, na_n ,\cdots \}
bn={0a0,a1,2a2,⋯,nan,⋯} ;
数列
a
n
a_n
an 的生成函数
A
(
x
)
=
a
0
x
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
⋯
A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots
A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯
数列
b
n
b_n
bn 的生成函数
B
(
x
)
=
0
a
0
x
0
+
1
a
1
x
1
+
2
a
2
x
2
+
⋯
+
n
a
n
x
n
+
⋯
B(x) = 0a_0x^0 + 1a_1x^1 + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^n + \cdots
B(x)=0a0x0+1a1x1+2a2x2+⋯+nanxn+⋯
证明上述性质 :
将 数列
a
n
a_n
an 的生成函数
A
(
x
)
A(x)
A(x) 求导 , 再 乘以
x
x
x , 即可得到
B
(
x
)
B(x)
B(x) ;
A
(
x
)
=
a
0
x
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
⋯
A(x) = a_0x^0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots
A(x)=a0x0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯
使用导数公式 :
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
(x^n)' = nx^{n-1}
(xn)′=nxn−1
参考 : 求导-百度百科
A
′
(
x
)
=
0
+
a
1
+
2
a
2
x
+
⋯
+
n
a
n
x
n
−
1
+
⋯
A'(x) = 0 + a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1} + \cdots
A′(x)=0+a1+2a2x+⋯+nanxn−1+⋯
x
A
′
(
x
)
=
0
+
a
1
x
+
2
a
2
x
2
+
⋯
+
n
a
n
x
n
+
⋯
=
B
(
x
)
xA'(x) = 0 + a_1x + 2a_2x^2 + \cdots + na_nx^{n} + \cdots = B(x)
xA′(x)=0+a1x+2a2x2+⋯+nanxn+⋯=B(x)
三、生成函数积分性质
b
n
=
a
n
n
+
1
b_n = \cfrac{a_n}{n+1}
bn=n+1an , 则
B
(
x
)
=
1
x
∫
0
x
A
(
x
)
d
x
B(x) =\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dx
B(x)=x1∫0xA(x)dx
上述性质很难记忆 , 由已知生成函数 , 可以推导出未知的生成函数 , 使用时推导即可 ;
