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文章目录
- 一、 谓词逻辑相关概念
-
- 1、 个体词
- 2、 谓词
- 3、 量词
- 二、 一阶谓词逻辑公式
- 三、 两个基本公式
-
- 1、 公式一
- 2、 公式二
- 四、 命题符号化技巧
-
- 1、 命题符号化方法
- 2、 谓词逻辑组合
- 3、 当且仅当谓词逻辑
- 五、 命题符号化示例
参考博客 :
- 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )
- 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )
- 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 判断一阶谓词逻辑公式真假 | 解释 | 示例 | 谓词逻辑公式类型 | 永真式 | 永假式 | 可满足式 | 等值式 )
- 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 谓词逻辑基本等值式 | 消除量词等值式 | 量词否定等值式 | 量词辖域收缩扩张等值式 | 量词分配等值式 )
- 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 前束范式 | 前束范式转换方法 | 谓词逻辑基本等值式 | 换名规则 | 谓词逻辑推理定律 )
一、 谓词逻辑相关概念
1、 个体词
个体词 :
① 个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
② 个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
③ 个体 变元 : 使用
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c 表示个体变元 ;
④ 个体 常元 : 使用
x
,
y
,
z
x, y, z
x,y,z 表示个体常元 ;
⑤ 个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
⑥ 个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
⑦ 全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;
命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;
谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;
2、 谓词
谓词 :
① 谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
② 谓词表示 : 使用
F
,
G
,
H
F, G, H
F,G,H 表示谓词 常元 或 变元 ;
③ 个体性质谓词表示 :
F
(
x
)
F(x)
F(x) 表示
x
x
x 具有 性质
F
F
F , 如
F
(
x
)
F(x)
F(x) 表示
x
x
x 是黑的 ;
④ 关系性质谓词表示示例 :
F
(
x
,
y
)
F(x, y)
F(x,y) 表示
x
,
y
x, y
x,y 具有 关系 F , 如 :
F
F
F
G
(
x
,
y
)
G(x, y)
G(x,y) 表示
x
x
x 大于
y
y
y ;
存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;
① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
② 表示方式 : 使用符号
∃
\exist
∃ 表示 ;
③ 解读1 :
∃
x
\exist x
∃x 表示个体域中 存在着的
x
x
x ;
④ 解读2 :
∃
x
(
F
(
x
)
)
\exist x( F(x) )
∃x(F(x)) 表示 , 个体域中 存在
x
x
x 具有性质
F
F
F ;
3、 量词
全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;
① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
② 表示方式 : 使用符号
∀
\forall
∀ 表示 ;
③ 解读1 :
∀
x
\forall x
∀x 表示个体域中 所有的
x
x
x ;
④ 解读2 :
∀
x
(
F
(
x
)
)
\forall x( F(x) )
∀x(F(x)) 表示 , 个体域中所有的
x
x
x 都具有性质
F
F
F ;
参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )
二、 一阶谓词逻辑公式
命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;
① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;
② 如果
A
A
A 是命题公式 , 则
(
¬
A
)
(\lnot A)
(¬A) 也是命题公式 ;
③ 如果
A
,
B
A,B
A,B 是命题公式 , 则
(
A
∧
B
)
,
(
A
∨
B
)
,
(
A
→
B
)
,
(
A
↔
B
)
(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)
(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;
④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )
一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :
如果
A
A
A 是公式 , 则
∀
x
A
\forall x A
∀xA 和
∃
x
A
\exist x A
∃xA 也是公式
一阶谓词逻辑公式相关概念 : 以
∀
x
A
\forall x A
∀xA ,
∃
x
A
\exist x A
∃xA 公式为例 ;
指导变元 :
∀
,
∃
\forall , \exist
∀,∃ 量词后面的
x
x
x 称为 指导变元
辖域 :
A
A
A 称为 对应量词的辖域 ;
约束出现 : 在
∀
x
\forall x
∀x ,
∃
x
\exist x
∃x 辖域
A
A
A 中 ,
x
x
x 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;
自由出现 : 辖域
A
A
A 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;
参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )
三、 两个基本公式
1、 公式一
个体域中 所有 有性质
F
F
F 的 个体 , 都 具有 性质
G
G
G ;
使用谓词逻辑如下表示 :
①
F
(
x
)
F(x)
F(x) :
x
x
x 具有性质
F
F
F ;
②
G
(
x
)
G(x)
G(x) :
x
x
x 具有性质
G
G
G ;
③ 命题符号化为 :
∀
x
(
F
(
x
)
→
G
(
x
)
)
\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )
∀x(F(x)→G(x))
2、 公式二
个体域 中 存在有性质
F
F
F 同时有性质
G
G
G 的个体 ;
使用谓词逻辑如下表示 :
①
F
(
x
)
F(x)
F(x) :
x
x
x 具有性质
F
F
F ;
②
G
(
x
)
G(x)
G(x) :
x
x
x 具有性质
G
G
G ;
③ 命题符号化为 :
∃
x
(
F
(
x
)
∧
G
(
x
)
)
\exist x ( F(x) \land G(x) )
∃x(F(x)∧G(x))
四、 命题符号化技巧
1、 命题符号化方法
命题符号化方法 :
① 写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明
∀
x
\forall x
∀x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
② 写出性质个关系谓词 : 使用
F
,
G
,
H
F , G , H
F,G,H 表明 个体的 性质 或 关系 ;
③ 命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;
2、 谓词逻辑组合
由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑
F
(
x
)
F(x)
F(x) 或
G
(
x
,
y
)
G(x, y)
G(x,y) 部件 再次进行组合 ;
如下 谓词逻辑 :
∀
x
(
F
(
x
)
→
∀
y
(
G
(
y
)
→
H
(
x
,
y
)
)
)
\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
其中
∀
y
(
G
(
y
)
→
H
(
x
,
y
)
)
\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )
∀y(G(y)→H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件
A
A
A , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :
∀
x
(
F
(
x
)
→
A
)
\forall x (F(x) \rightarrow A)
∀x(F(x)→A)
因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的
∀
x
(
F
(
x
)
→
∀
y
(
G
(
y
)
→
H
(
x
,
y
)
)
)
\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))
∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))
3、 当且仅当谓词逻辑
当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
( 1 ) 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;
( 2 ) 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的
x
x
x 与 存在的一个
y
y
y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的
x
x
x 和 所有的
z
z
z 存在某种性质或关系 ;
③
y
y
y 与
z
z
z 具有相等的属性 ;
( 3 ) 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是
① 对于所有的
x
x
x 与 存在的一个
y
y
y 有 某种性质或关系 ,
②
y
y
y 与 所有的
z
z
z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出
x
x
x 和
z
z
z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;
五、 命题符号化示例
参考 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 命题符号化 习题
