IDEA激活码
文章目录
- 一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
- 二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况
常系数线性非齐次递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) ,
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0
n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0
0
0 , 而是一个基于
n
n
n 的 函数
f
(
n
)
f(n)
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分
f
(
n
)
f(n)
f(n) 是指数函数 ,
β
n
\beta^n
βn ,
如果
β
\beta
β 是
e
e
e 重特征根 ,
非齐次部分的特解形式为 :
H
∗
(
n
)
=
P
n
e
β
n
H^*(n) = P n^e \beta^n
H∗(n)=Pneβn ,
P
P
P 是常数 ;
将上述特解
H
∗
(
n
)
=
P
n
e
β
n
H^*(n) = P n^e \beta^n
H∗(n)=Pneβn , 代入递推方程 , 求解出常数
P
P
P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例
递推方程 :
H
(
n
)
−
5
H
(
n
−
1
)
+
6
H
(
n
−
2
)
=
2
n
H(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^n
H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n , 求特解 ?
查看其特征根 :
递推方程的标准形式是 :
H
(
n
)
−
5
H
(
n
−
1
)
+
6
H
(
n
−
2
)
=
2
n
H(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^n
H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n ,
齐次部分是
H
(
n
)
−
5
H
(
n
−
1
)
+
6
H
(
n
−
2
)
=
0
H(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=0
H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=0
写出特征方程 :
x
2
−
5
x
+
6
=
0
x^2 - 5x + 6 = 0
x2−5x+6=0 ,
特征根
q
1
=
2
,
q
2
=
3
q_1= 2, q_2 = 3
q1=2,q2=3
求该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 :
H
(
n
)
−
5
H
(
n
−
1
)
+
6
H
(
n
−
2
)
=
2
n
H(n) - 5H(n-1) + 6H(n-2)=2^n
H(n)−5H(n−1)+6H(n−2)=2n
非齐次部分是
2
n
2^n
2n , 是指数函数 , 但是其底是
1
1
1 重特征根 ,
此时要使用底是
e
e
e 重特征根的特解形式来构造特解
H
∗
(
n
)
=
P
n
e
β
n
H^*(n) = P n^e \beta^n
H∗(n)=Pneβn
特解的形式是
H
∗
(
n
)
=
P
n
1
2
n
=
P
n
2
n
H^*(n) = P n^1 2^n = Pn2^n
H∗(n)=Pn12n=Pn2n , 其中
P
P
P 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
P
n
2
n
−
5
P
(
n
−
1
)
2
n
−
1
+
6
P
(
n
−
2
)
2
n
−
2
=
2
n
Pn2^n - 5P(n-1)2^{n-1} + 6P(n-2)2^{n-2} = 2^n
Pn2n−5P(n−1)2n−1+6P(n−2)2n−2=2n
所有项都构造
2
n
2^n
2n
P
n
2
n
−
5
P
(
n
−
1
)
2
n
2
+
6
P
(
n
−
2
)
2
n
4
=
2
n
Pn2^n - \cfrac{5P(n-1)2^{n}}{2} + \cfrac{6P(n-2)2^n}{4} = 2^n
Pn2n−25P(n−1)2n+46P(n−2)2n=2n
左右两侧都除以
2
n
2^n
2n
P
n
−
5
P
(
n
−
1
)
2
+
3
P
(
n
−
2
)
2
=
1
Pn - \cfrac{5P(n-1)}{2} + \cfrac{3P(n-2)}{2} = 1
Pn−25P(n−1)+23P(n−2)=1
P
n
−
5
P
n
2
+
5
P
2
+
3
P
n
2
−
3
P
=
1
Pn - \cfrac{5Pn}{2} + \cfrac{5P}{2} + \cfrac{3Pn}{2} -3P = 1
Pn−25Pn+25P+23Pn−3P=1
5
P
2
−
3
P
=
1
\cfrac{5P}{2} -3P = 1
25P−3P=1
−
P
2
=
1
-\cfrac{P}{2} = 1
−2P=1
P
=
−
2
P=-2
P=−2
特解的形式
H
∗
(
n
)
=
P
n
2
n
H^*(n) = Pn2^n
H∗(n)=Pn2n , 其中
P
P
P 常数值为
−
2
-2
−2 ;
特解为
H
∗
(
n
)
=
−
2
n
2
n
H^*(n) = -2n2^n
H∗(n)=−2n2n
