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- 一、非齐次部分是指数的情况
- 二、非齐次部分是指数的情况 示例
一、非齐次部分是指数的情况
常系数线性非齐次递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) ,
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0
n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0
0
0 , 而是一个基于
n
n
n 的 函数
f
(
n
)
f(n)
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是指数的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分
f
(
n
)
f(n)
f(n) 是指数函数 ,
β
n
\beta^n
βn ,
如果
β
\beta
β 不是特征根 ,
则非齐次部分的特解形式为 :
H
∗
(
n
)
=
P
β
n
H^*(n) = P\beta^n
H∗(n)=Pβn ,
P
P
P 是常数 ;
将上述特解
H
∗
(
n
)
=
P
β
n
H^*(n) = P\beta^n
H∗(n)=Pβn , 代入递推方程 , 求解出常数
P
P
P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
二、非齐次部分是指数的情况 示例
递推方程 :
a
n
=
6
a
n
−
1
+
8
n
−
1
a_n = 6a_{n-1} + 8^{n-1}
an=6an−1+8n−1
初值 :
a
1
=
7
a_1=7
a1=7
第一步 , 先求出该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,
递推方程的标准形式是 :
a
n
−
6
a
n
−
1
=
8
n
−
1
a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}
an−6an−1=8n−1
非齐次部分是
8
n
−
1
8^{n-1}
8n−1 ,
因此其 特解 的形式是
a
∗
n
=
P
8
n
−
1
a^*n = P 8^{n-1}
a∗n=P8n−1 , 其中
P
P
P 是常数 ;
将特解代入上述递推方程 :
P
8
n
−
1
−
6
P
8
n
−
2
=
8
n
−
1
P 8^{n-1} - 6P 8^{n-2} = 8^{n-1}
P8n−1−6P8n−2=8n−1
在
6
P
8
n
−
2
6P 8^{n-2}
6P8n−2 项乘以
8
8
8 变成
6
P
8
n
−
1
6P8^{n-1}
6P8n−1 , 再除以
8
8
8 变成
6
P
8
n
−
1
8
=
3
P
8
n
−
1
4
\cfrac{6P8^{n-1}}{8}=\cfrac{3P8^{n-1}}{4}
86P8n−1=43P8n−1 , 代入等式中 ,
P
8
n
−
1
−
3
P
8
n
−
1
4
=
8
n
−
1
P 8^{n-1} - \cfrac{3P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}
P8n−1−43P8n−1=8n−1
P
8
n
−
1
4
=
8
n
−
1
\cfrac{P8^{n-1}}{4} = 8^{n-1}
4P8n−1=8n−1
P
4
=
1
\cfrac{P}{4} = 1
4P=1
P
=
4
P = 4
P=4
特解中的常数项
P
=
4
P=4
P=4 , 最终特解为
a
∗
n
=
4
×
8
n
−
1
a^*n = 4\times 8^{n-1}
a∗n=4×8n−1
第二步 , 求出齐次部分的通解
递推方程的标准形式是 :
a
n
−
6
a
n
−
1
=
8
n
−
1
a_n - 6a_{n-1} = 8^{n-1}
an−6an−1=8n−1 ,
齐次部分是
a
n
−
6
a
n
−
1
=
0
a_n - 6a_{n-1} = 0
an−6an−1=0
写出特征方程 :
x
−
6
=
0
x - 6 = 0
x−6=0 ,
特征根
q
=
6
q= 6
q=6
写出齐次部分通解形式 :
a
n
‾
=
c
×
6
n
\overline{a_n} = c \times 6^n
an=c×6n
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
a
n
=
a
n
‾
+
a
∗
n
a_n = \overline{a_n} + a^*n
an=an+a∗n
递推方程通解是 :
a
n
=
c
×
6
n
+
4
×
8
n
−
1
a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}
an=c×6n+4×8n−1
第三步 , 代入初值, 求出最终通解
代入初值
a
1
=
7
a_1 = 7
a1=7 到上述通解中得到
c
×
6
1
+
4
×
8
1
−
1
=
7
c \times 6^1 + 4 \times 8^{1-1} = 7
c×61+4×81−1=7
6
c
+
4
=
7
6c + 4 = 7
6c+4=7
c
=
1
2
c=\cfrac{1}{2}
c=21
a
n
=
c
×
6
n
+
4
×
8
n
−
1
a_n = c \times 6^n + 4\times 8^{n-1}
an=c×6n+4×8n−1 通解中的常数常数
c
=
1
2
c=\cfrac{1}{2}
c=21 , 将常数代入 ,
通解为
a
n
=
1
2
×
6
n
+
4
×
8
n
−
1
a_n = \cfrac{1}{2} \times 6^n + 4\times 8^{n-1}
an=21×6n+4×8n−1
