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文章目录
- 一、特解形式与求法
- 二、特解形式与求法 示例
一、特解形式与求法
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) ,
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0
n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0
0
0 , 而是一个基于
n
n
n 的 函数
f
(
n
)
f(n)
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
H
(
n
)
‾
\overline{H(n)}
H(n) 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程”
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0 的通解 ,
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 是一个特解 ,
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n)
在 【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 ) 博客中介绍了 “常系数线性齐次递推方程” 的通解求法 ;
本博客中开始介绍 特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 的求法 ;
特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部
f
(
n
)
f(n)
f(n) 有关 ,
f
(
n
)
f(n)
f(n) 为
n
n
n 的
t
t
t 次多项式 ,
特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 也是
n
n
n 的
t
t
t 次多项式 ;
1 . 特解形式 :
( 1 ) 特解形式 : 特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 是
n
n
n 的
t
t
t 次多项式 ,
n
n
n 的幂取值从
0
0
0 到
t
t
t , 因此其 项数有
t
+
1
t+1
t+1 项 ;
( 2 ) 特解每项组成 :
- ① 项数 :
t
+
1
t+1
t+1 项 - ② 组成 : 特解项由 常数 乘以
n
n
n 的次幂 组成 , 常数是未知的 ; - ③ 常数 :
t
+
1
t+1
t+1 个常数 , 使用下标标识好 ; - ④
n
n
n 的幂 : 幂取值从0
0
0 到t
t
t ;
( 3 ) 举例 : 特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 是
n
n
n 的
2
2
2 次多项式 ;
特解项数 : 则 特解项数 是
2
+
1
=
3
2 + 1 = 3
2+1=3 项 ;
特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以
n
n
n 的次幂 组成 ,
-
3
3
3 个常数 设为
P
1
,
P
2
,
P
3
P_1, P_2, P_3
P1,P2,P3 ,
-
3
3
3 个
n
n
n 的次幂 , 幂取值 从
0
0
0 到
2
2
2 ,
因此特解的形式为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
1
+
P
3
n
0
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n^1 + P_3n^0
H∗(n)=P1n2+P2n1+P3n0 ,
化简后为 :
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
2 . 特解求法 :
( 1 ) 先写出特解的形式 : 特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 也是
n
n
n 的
t
t
t 次多项式 ; 如 :
f
(
n
)
f(n)
f(n) 为
n
n
n 的
2
2
2 次多项式 , 则特解为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
( 2 ) 特解代入递推方程 : 然后将特解代入递推方程 , 将特解中的系数确定下来 ;
二、特解形式与求法 示例
递推方程 :
a
n
+
5
a
n
−
1
+
6
a
n
−
2
=
3
n
2
a_n + 5a_{n-1} + 6a_{n-2}=3n^2
an+5an−1+6an−2=3n2 ;
1 . 特解形式 :
上述递推方程左侧是 “常系数线性齐次递推方程” 形式 , 不用管 ,
右侧的
3
n
2
3n^2
3n2 与特解相关 ,
3
n
2
3n^2
3n2 为
n
n
n 的
2
2
2 次多项式 ,
因此特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 也是
n
n
n 的
2
2
2 次多项式 ;
2 . 写出特解形式 :
特解项数 : 则 特解项数 是
2
+
1
=
3
2 + 1 = 3
2+1=3 项 ;
特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以
n
n
n 的次幂 组成 ,
-
3
3
3 个常数 设为
P
1
,
P
2
,
P
3
P_1, P_2, P_3
P1,P2,P3 ,
-
3
3
3 个
n
n
n 的次幂 , 幂取值 从
0
0
0 到
2
2
2 ,
因此特解的形式为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
1
+
P
3
n
0
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n^1 + P_3n^0
H∗(n)=P1n2+P2n1+P3n0 ,
化简后为 :
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
3 . 将特解代入递推方程 :
将特解
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3 ,
代入到递推方程
a
n
+
5
a
n
−
1
+
6
a
n
−
2
=
3
n
2
a_n + 5a_{n-1} + 6a_{n-2}=3n^2
an+5an−1+6an−2=3n2 中 ,
得到 :
(
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
)
+
5
(
P
1
(
n
−
1
)
2
+
P
2
(
n
−
1
)
+
P
3
)
+
6
(
P
1
(
n
−
2
)
2
+
P
2
(
n
−
2
)
+
P
3
)
=
3
n
2
(P_1n^2 + P_2n + P_3) + 5(P_1(n-1)^2 + P_2(n-1) + P_3) + 6(P_1(n-2)^2 + P_2(n-2) + P_3)=3n^2
(P1n2+P2n+P3)+5(P1(n−1)2+P2(n−1)+P3)+6(P1(n−2)2+P2(n−2)+P3)=3n2
4 . 分析
n
n
n 的幂写出方程组 :
左右两侧是相等的 , 这里 根据
n
n
n 的次幂前的系数 , 写出方程组 ;
分析
n
n
n 的次幂的系数 :
-
n
2
n^2
n2 系数分析 : 右侧是3
n
2
3n^2
3n2 , 因此n
2
n^2
n2 前的系数是3
3
3 ; 将左侧展开 ,n
2
n^2
n2 前的系数相加 , 最终等于3
3
3 ;12
P
1
n
2
=
3
n
2
12P_1n^2 = 3n^2
12P1n2=3n2 -
n
1
n^1
n1 系数分析 : 右侧没有n
1
n^1
n1 , 即没有n
n
n 项 , 因此左侧的n
n
n 项之前的系数为0
0
0 ; 将左侧展开 ,n
n
n 前的系数相加 , 最终等于0
0
0 ;−
34
P
1
n
+
12
P
2
n
=
0
n
-34P_1n + 12P_2n = 0n
−34P1n+12P2n=0n -
n
0
n^0
n0 系数分析 : 右侧没有n
0
n^0
n0 , 即没有1
1
1 项 ( 纯数字项 ) , 因此左侧的数字项为0
0
0 ; 将左侧展开 , 数字项最终等于0
0
0 ;29
P
1
−
17
P
2
+
12
P
3
=
0
29P_1 - 17P_2 + 12 P_3 = 0
29P1−17P2+12P3=0
最终得到方程组 :
{
12
P
1
=
3
−
34
P
1
+
12
P
2
=
0
29
P
1
−
17
P
2
+
12
P
3
=
0
\begin{cases} 12P_1 = 3 \\\\ -34P_1 + 12P_2 = 0 \\\\ 29P_1 - 17P_2 + 12 P_3 = 0 \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧12P1=3−34P1+12P2=029P1−17P2+12P3=0
解上述方程组 , 得到结果 :
{
P
1
=
1
4
P
2
=
7
24
P
3
=
115
288
\begin{cases} P_1 = \cfrac{1}{4} \\\\ P_2 = \cfrac{7}{24} \\\\ P_3 = \cfrac{115}{288} \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧P1=41P2=247P3=288115
特解是 :
H
∗
(
n
)
=
1
4
n
2
+
7
24
n
+
115
288
H^*(n) = \cfrac{1}{4} n^2 + \cfrac{7}{24}n + \cfrac{115}{288}
H∗(n)=41n2+247n+288115
最终通解是 :
H
(
n
)
=
c
1
(
−
2
)
n
+
c
2
(
−
3
)
n
+
1
4
n
2
+
7
24
n
+
115
288
H(n) = c_1(-2)^n + c_2(-3)^n + \cfrac{1}{4} n^2 + \cfrac{7}{24}n + \cfrac{115}{288}
H(n)=c1(−2)n+c2(−3)n+41n2+247n+288115
