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文章目录
- 一、有重根递推方程求解问题
- 二、有重根递推方程示例
一、有重根递推方程求解问题
有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的 , 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ;
参考 : 【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理
在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于
0
0
0 ,
∏
1
≤
i
<
j
≤
k
(
q
i
−
q
k
)
≠
0
\prod\limits_{1 \leq i < j \leq k} ( q_i - q_k ) \not= 0
1≤i<j≤k∏(qi−qk)=0 , 如果有两个特征根
q
i
,
q
k
q_i , q_k
qi,qk 相等 , 则上面的 "系数行列式不等于
0
0
0" 便无法实现 ;
如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;
针对有重根的递推方程 , 需要将其 线性无关的元素 都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;
线性组合 : 将一个解乘以
c
1
c_1
c1 , 另一个解乘以
c
2
c_2
c2 , 相加之后的组合 ;
二、有重根递推方程示例
递推方程 :
H
(
n
)
−
4
H
(
n
−
1
)
+
4
H
(
n
−
2
)
=
0
H(n) - 4H(n-1) + 4H(n-2) = 0
H(n)−4H(n−1)+4H(n−2)=0
初值 :
H
(
0
)
=
0
,
H
(
1
)
=
1
H(0) = 0 , H(1) = 1
H(0)=0,H(1)=1
无重根下递推方程求解完整过程 :
- 1 . 写出特征方程 :
- ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ;
- ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂
0
0
0 ;
- ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
- ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
- 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
- 3 . 构造递推方程的通解 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
- 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k
k
k 个
k
k
k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
- ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ;
递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数
根据上述求解过程进行求解 :
1 . 特征方程 :
( 1 ) 递推方程标准形式 : 递推方程已经是标准形式 ;
( 2 ) 特征方程项数 : 与 递推方程项数 相同 ,
3
3
3 项 ;
( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数减一 ,
3
−
1
=
2
3-1=2
3−1=2 , 最低次幂
0
0
0 ;
( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 :
x
2
+
x
+
1
=
0
x^2 + x + 1 = 0
x2+x+1=0
( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
1
x
2
+
(
−
4
)
x
+
(
4
)
1
=
0
1x^2 + (-4)x + (4)1 = 0
1x2+(−4)x+(4)1=0
x
2
−
4
x
+
4
=
0
x^2 - 4x + 4 = 0
x2−4x+4=0
2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
x
=
4
±
16
−
16
2
=
2
x=\cfrac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = 2
x=24±16−16=2
两个特征根都是
2
2
2 ,
q
1
=
2
,
q
2
=
2
q_1=2, q_2 = 2
q1=2,q2=2 ;
3 . 构造递推方程的通解 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
通解是 :
H
(
n
)
=
c
1
2
n
+
c
2
2
n
=
c
2
n
H(n) = c_12^n + c_22^n = c2^n
H(n)=c12n+c22n=c2n
4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k
k
k 个
k
k
k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
将
c
2
n
c2^n
c2n 代入到
x
2
−
4
x
+
4
=
0
x^2 - 4x + 4 = 0
x2−4x+4=0 特征方程中 ,
c
c
c 是无解的 ;
如果 两个特征根 都是
2
2
2 , 线性相关 , 此时就 无法确定通解中的
c
1
,
c
2
c_1, c_2
c1,c2 待定常数 ;
观察
n
2
n
n2^n
n2n 是解 , 该解与
2
n
2^n
2n 线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,
c
1
n
2
n
+
c
2
2
n
c_1n2^n + c_22^n
c1n2n+c22n 线性组合 , 是递推方程的解 ,
将初值代入 , 可以解出
c
1
,
c
2
c_1, c_2
c1,c2 常数的值 ;
