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- 一、递推方程标准型及通解
- 二、递推方程通解证明
一、递推方程标准型及通解
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) ,
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0
n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是
0
0
0 , 而是一个基于
n
n
n 的 函数
f
(
n
)
f(n)
f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
则上述递推方程的通解如下 :
H
(
n
)
‾
\overline{H(n)}
H(n) 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程”
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0 的通解 ,
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 是一个特解 ,
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n)
“常系数线性非齐次递推方程” 是 “常系数线性齐次递推方程” 的 齐次通解 , 加上一个 特解 ;
常系数线性非齐次递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n)
常系数线性齐次递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
\ \ \ \, H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 特解 , 是一个能使得方程左右相等的特定函数 ,
将
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n) 通解 代入到
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) 的左部 ,
将带 上划线 的
H
(
n
)
‾
\overline{H(n)}
H(n) 项合并 , 一定为
0
0
0 ,
将带
∗
*
∗ 星号 的
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 项合并 , 一定为
f
(
n
)
f(n)
f(n) ,
0
+
f
(
n
)
0 + f(n)
0+f(n) 最终结果还是
f
(
n
)
f(n)
f(n) , 与右侧的
f
(
n
)
f(n)
f(n) 相等 ;
递推方程的任何一个解 , 都是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
二、递推方程通解证明
证明 : 递推方程的通解 , 一定 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) ,
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0
n≥k,ak=0,f(n)=0
假设
h
(
n
)
h(n)
h(n) 是递推方程的通解 , 证明该
h
(
n
)
h(n)
h(n) 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 之和 ;
将
h
(
n
)
h(n)
h(n) 代入上述递推方程中 ,
①
h
(
n
)
−
a
1
h
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
h
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) = f(n)
h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k)=f(n)
特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 也是递推方程的解 , 将
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 代入递推方程 , 左右也是相等的 ,
②
H
∗
(
n
)
−
a
1
H
∗
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
∗
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) = f(n)
H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k)=f(n)
将上述 ① ② 两个等式的 左部与左部相减 , 右部与右部相减 ,
(
h
(
n
)
−
a
1
h
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
h
(
n
−
k
)
)
( h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) )
(h(n)−a1h(n−1)−⋯−akh(n−k))
−
-
−
(
H
∗
(
n
)
−
a
1
H
∗
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
∗
(
n
−
k
)
)
( H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) )
(H∗(n)−a1H∗(n−1)−⋯−akH∗(n−k))
=
0
=0
=0
合并上式中的项 :
[
h
(
n
)
−
H
∗
(
n
)
]
−
a
1
[
h
(
n
−
1
)
−
H
∗
(
n
−
1
)
]
−
⋯
−
a
k
[
h
(
n
−
k
)
−
H
∗
(
n
−
k
)
]
=
0
[ h(n) - H^*(n) ] - a_1[ h(n-1) - H^*(n-1) ] - \cdots - a_k[ h(n-k) - H^*(n-k) ] = 0
[h(n)−H∗(n)]−a1[h(n−1)−H∗(n−1)]−⋯−ak[h(n−k)−H∗(n−k)]=0
上述方程是齐次方程 ,
h
(
n
)
−
H
∗
(
n
)
h(n) - H^*(n)
h(n)−H∗(n) 是齐次方程的通解 ,
那么
h
(
n
)
h(n)
h(n) 就是 齐次方程通解 与 特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n) 相加 ;
因此
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n) 格式一定是通解 ;
