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文章目录
- 一、线性无关解
- 二、有重根下的通解
- 二、有重根下的通解写法
- 三、有重根下的递推方程求解示例
- 四、递推方程公式解法总结
一、线性无关解
线性无关解 :
如果
q
q
q 是递推方程的
e
e
e 重特征根 , 则
q
n
,
n
q
n
,
n
2
q
n
,
⋯
,
n
e
−
1
q
n
q^n , nq^n , n^2q^n , \cdots , n^{e-1}q^n
qn,nqn,n2qn,⋯,ne−1qn
是递推方程的 线性无关的解 ;
e
e
e 是特征根的重数 ;
二、有重根下的通解
q
1
,
q
2
,
⋯
,
q
t
q_1, q_2, \cdots , q_t
q1,q2,⋯,qt 是递推方程的 不相等的特征根 , 有
t
t
t 个不相等的特征根 ,
q
i
q_i
qi 的重数是
e
i
e_i
ei ,
某一个特征根
q
i
q_i
qi , 其重复度是
e
i
e_i
ei , 该 特征根 对应的 通解中的项 是 :
H
i
(
n
)
=
(
c
i
1
+
c
i
2
n
+
⋯
+
c
i
e
i
n
e
i
−
1
)
q
i
n
H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n
Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin
上述通解项的 系数中 , 含有
e
i
e_i
ei 个项 , 这
e
i
e_i
ei 个项的常数之外的
n
n
n 次幂取值是从
0
0
0 到
e
i
−
1
e_i - 1
ei−1 ,
该递推方程通解是 :
H
(
n
)
=
∑
i
=
1
t
H
i
(
n
)
H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)
H(n)=i=1∑tHi(n)
二、有重根下的通解写法
有重根下的通解形式列出 :
1 . 特征根数 :
q
1
,
q
2
,
⋯
,
q
t
q_1, q_2, \cdots , q_t
q1,q2,⋯,qt 是递推方程特征根 , 不相等的特征根数
t
t
t ;
2 . 根据 特征根 写出通解中的项
H
i
(
n
)
H_i(n)
Hi(n) : 特征根
q
i
q_i
qi , 重复度
e
i
e_i
ei , 其中
i
i
i 的取值是
0
0
0 到
t
t
t ; 第
i
i
i 个特征根对应的通解项 , 记作
H
i
(
n
)
H_i(n)
Hi(n) ;
- ( 1 ) 组成 : 系数项 乘以
q
i
n
q_i^n
qin ; - ( 2 ) 系数项 :
- ① 个数 : 有
e
i
e_i
ei 项 ; 系数项的个数 , 就是该特征根的重复度 ; - ② 形式 : 常数 乘以
n
n
n 的次幂 ; 如 :n
e
i
−
1
n^{e_i-1}
nei−1 , 这里有e
i
e_i
ei 个常数 ;- 1 >常数 : 常数下标是从
c
i
1
c_{i1}
ci1 到c
i
e
i
c_{ie_i}
ciei , 下标的右侧部分是1
1
1 到e
i
e_i
ei ; - 2 >
n
n
n 的次幂 : 幂的取值是从0
0
0 到e
i
−
1
e_i - 1
ei−1 ; - 3 >建议排列方式 : 常数 和 次幂 , 最好都从小到大排列 , 常数下标 与
n
n
n 的幂 相差1
1
1 ;
- 1 >常数 : 常数下标是从
- ① 个数 : 有
- ( 3 ) 通解第
i
i
i 项 :H
i
(
n
)
=
(
c
i
1
+
c
i
2
n
+
⋯
+
c
i
e
i
n
e
i
−
1
)
q
i
n
H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n
Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin
3 . 写出通解 :
- ( 1 ) 通解项数 : 特征根数
t
t
t ; - ( 2 ) 通解组成 : 每个特征根对应的通解项 , 加到一起 , 就是完整的通解 ;
- ( 3 ) 最终结果 :
H
(
n
)
=
∑
i
=
1
t
H
i
(
n
)
H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)
H(n)=i=1∑tHi(n)
三、有重根下的递推方程求解示例
求解方法 :
1 . 特征方程 :
( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ;
该递推方程目前就是标准形式 ;
( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
5
5
5 项 ;
( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂
0
0
0 ;
x
x
x 的次幂从
0
0
0 到
4
4
4 ;
( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
=
0
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0
x4+x3+x2+x+1=0
( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
x
4
+
x
3
−
3
x
2
−
5
x
−
2
=
0
x^4 + x^3 - 3x^2 -5 x -2 = 0
x4+x3−3x2−5x−2=0
2 . 解特征根 : 将 特征方程的 特征根 解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
解出的特征根是
−
1
,
−
1
,
−
1
,
2
-1, -1, -1, 2
−1,−1,−1,2 ;
3 . 构造递推方程的通解 :
( 1 ) 无重根 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ;
( 2 ) 有重根 : 参考下面的 “有重根下的通解形式列出” 内容 ;
此处的情况属于有重根的情况 , 参考下面的解法 :
重根
−
1
-1
−1 项需要按照 重根的通解项规则 写 ;
非重根
2
2
2 , 可以按照 一般的形式 写出 , 即
c
4
2
n
c_42^n
c42n ,
c
4
c_4
c4 是常数 ,
4
4
4 代表这是第
4
4
4 个特征根 ;
重根是
−
1
-1
−1 , 重复度是
3
3
3 ;
H
1
(
n
)
H_1(n)
H1(n) 代表该重根项 , 该项由 系数项 乘以
(
−
1
)
n
(-1)^n
(−1)n 组成 ;
系数项中有
3
3
3 项 ; 每个系数项的形式是 常数 乘以
n
n
n 的幂 ;
常数使用
c
1
,
c
2
,
c
3
c_1, c_2, c_3
c1,c2,c3 表示 ,
n
n
n 的幂 取值是
0
0
0 到
2
2
2 ( 系数项个数
−
1
-1
−1 ) ;
写出
−
1
-1
−1 特征根对应的通解项 :
H
1
(
n
)
=
(
c
1
+
c
2
n
+
c
3
n
2
)
(
−
1
)
n
H_1(n) = (c_1 + c_2n + c_3n^2)(-1)^n
H1(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)n
完整的通解是 :
H
(
n
)
=
(
c
1
+
c
2
n
+
c
3
n
2
)
(
−
1
)
n
+
c
4
2
n
H(n) = (c_1 + c_2n + c_3n^2)(-1)^n + c_42^n
H(n)=(c1+c2n+c3n2)(−1)n+c42n
4 . 求通解中的常数 :
( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k
k
k 个
k
k
k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ;
{
(
c
1
+
0
c
2
+
0
2
c
3
)
(
−
1
)
0
+
2
0
c
4
=
F
(
0
)
=
1
(
c
1
+
1
c
2
+
1
2
c
3
)
(
−
1
)
1
+
2
1
c
4
=
F
(
1
)
=
0
(
c
1
+
2
c
2
+
2
2
c
3
)
(
−
1
)
2
+
2
2
c
4
=
F
(
2
)
=
1
(
c
1
+
3
c
2
+
3
2
c
3
)
(
−
1
)
3
+
2
3
c
4
=
F
(
3
)
=
2
\begin{cases} ( c_1 + 0c_2 + 0^2c_3 )(-1)^0 + 2^0c_4 = F(0) = 1 \\\\ ( c_1 + 1c_2 + 1^2c_3 )(-1)^1 + 2^1c_4 = F(1) = 0 \\\\ ( c_1 + 2c_2 + 2^2c_3 )(-1)^2 + 2^2c_4 = F(2) = 1 \\\\ ( c_1 + 3c_2 + 3^2c_3 )(-1)^3 + 2^3c_4 = F(3) = 2 \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧(c1+0c2+02c3)(−1)0+20c4=F(0)=1(c1+1c2+12c3)(−1)1+21c4=F(1)=0(c1+2c2+22c3)(−1)2+22c4=F(2)=1(c1+3c2+32c3)(−1)3+23c4=F(3)=2
化简后为 :
{
c
1
+
c
4
=
1
−
c
1
−
c
2
−
c
3
+
2
c
4
=
0
c
1
+
2
c
2
+
4
c
3
+
4
c
4
=
1
−
c
1
−
3
c
2
−
9
c
3
+
8
c
4
=
2
\begin{cases} c_1 +c_4= 1 \\\\ -c_1 - c_2 - c_3 + 2c_4 = 0 \\\\ c_1 +2 c_2 +4 c_3 + 4c_4= 1 \\\\ -c_1 - 3c_2 - 9c_3 + 8c_4= 2 \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧c1+c4=1−c1−c2−c3+2c4=0c1+2c2+4c3+4c4=1−c1−3c2−9c3+8c4=2
解上述
4
4
4 个常数值为 :
c
1
=
7
9
,
c
2
=
−
1
3
,
c
3
=
0
,
c
4
=
2
9
c_1 = \cfrac{7}{9}, c_2 = -\cfrac{1}{3}, c_3 = 0, c_4 = \cfrac{2}{9}
c1=97,c2=−31,c3=0,c4=92
( 2 ) 代入常数获得通解 : 将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ;
完整的通解 :
H
(
n
)
=
7
9
(
−
1
)
n
−
1
3
(
−
1
)
n
+
2
9
2
n
H(n) = \cfrac{7}{9} (-1)^n - \cfrac{1}{3} (-1)^n + \cfrac{2}{9}2^n
H(n)=97(−1)n−31(−1)n+922n
四、递推方程公式解法总结
递推方程求解完整过程 :
1 . 特征方程 :
( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ;
( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂
0
0
0 ;
( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
2 . 解特征根 : 将 特征方程的 特征根 解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
3 . 构造递推方程的通解 :
( 1 ) 无重根 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ;
( 2 ) 有重根 : 参考下面的 “有重根下的通解形式列出” 内容 ;
4 . 求通解中的常数 :
( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k
k
k 个
k
k
k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ;
( 2 ) 代入常数获得通解 : 将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ;
有重根下的通解形式列出 :
1 . 特征根数 :
q
1
,
q
2
,
⋯
,
q
t
q_1, q_2, \cdots , q_t
q1,q2,⋯,qt 是递推方程特征根 , 不相等的特征根数
t
t
t ;
2 . 根据 特征根 写出通解中的项
H
i
(
n
)
H_i(n)
Hi(n) : 特征根
q
i
q_i
qi , 重复度
e
i
e_i
ei , 其中
i
i
i 的取值是
0
0
0 到
t
t
t ; 第
i
i
i 个特征根对应的通解项 , 记作
H
i
(
n
)
H_i(n)
Hi(n) ;
- ( 1 ) 组成 : 系数项 乘以
q
i
n
q_i^n
qin ; - ( 2 ) 系数项 :
- ① 个数 : 有
e
i
e_i
ei 项 ; 系数项的个数 , 就是该特征根的重复度 ; - ② 形式 : 常数 乘以
n
n
n 的次幂 ; 如 :n
e
i
−
1
n^{e_i-1}
nei−1 , 这里有e
i
e_i
ei 个常数 ;- 1 >常数 : 常数下标是从
c
i
1
c_{i1}
ci1 到c
i
e
i
c_{ie_i}
ciei , 下标的右侧部分是1
1
1 到e
i
e_i
ei ; - 2 >
n
n
n 的次幂 : 幂的取值是从0
0
0 到e
i
−
1
e_i - 1
ei−1 ; - 3 >建议排列方式 : 常数 和 次幂 , 最好都从小到大排列 , 常数下标 与
n
n
n 的幂 相差1
1
1 ;
- 1 >常数 : 常数下标是从
- ① 个数 : 有
- ( 3 ) 通解第
i
i
i 项 :H
i
(
n
)
=
(
c
i
1
+
c
i
2
n
+
⋯
+
c
i
e
i
n
e
i
−
1
)
q
i
n
H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n
Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin
3 . 写出通解 :
- ( 1 ) 通解项数 : 特征根数
t
t
t ; - ( 2 ) 通解组成 : 每个特征根对应的通解项 , 加到一起 , 就是完整的通解 ;
- ( 3 ) 最终结果 :
H
(
n
)
=
∑
i
=
1
t
H
i
(
n
)
H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n)
H(n)=i=1∑tHi(n)
递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数
