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文章目录
- 一、斐波那契数列求解
- 二、无重根下递推方程求解完整过程
一、斐波那契数列求解
1 . 斐波那契数列示例 :
( 1 ) 斐波那契数列 :
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
⋯
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots
1,1,2,3,5,8,13,⋯
( 2 ) 递推方程 :
F
(
n
)
=
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
描述 : 第
n
n
n 项等于第
n
−
1
n-1
n−1 项 和 第
n
−
2
n-2
n−2 项之和 ;
如 : 第
4
4
4 项的值
F
(
4
)
=
5
F(4) = 5
F(4)=5 , 就等于
第
4
−
1
=
3
4-1=3
4−1=3 项的值
F
(
4
−
1
)
=
F
(
3
)
=
3
F(4-1)=F(3) = 3
F(4−1)=F(3)=3
加上 第
4
−
2
=
2
4-2=2
4−2=2 项的值
F
(
4
−
2
)
=
F
(
2
)
=
2
F(4-2) = F(2) =2
F(4−2)=F(2)=2 ;
( 3 ) 初值 :
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1 , F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1
根据
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1, F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1 可以计算
F
(
2
)
F(2)
F(2) , 根据
F
(
1
)
,
F
(
2
)
F(1),F(2)
F(1),F(2) 可以计算
F
(
3
)
F(3)
F(3) , 根据
F
(
2
)
F
(
3
)
F(2)F(3)
F(2)F(3) 可以 计算
F
(
4
)
F(4)
F(4) ,
⋯
\cdots
⋯ , 根据
F
(
n
−
2
)
,
F
(
n
−
1
)
F(n-2) , F(n-1)
F(n−2),F(n−1) 可以计算
F
(
n
)
F(n)
F(n) ;
2 . 写出斐波那契数列的特征方程并求解特征根 :
递推方程 :
F
(
n
)
=
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
( 1 ) 递推方程标准形式 :
F
(
n
)
−
F
(
n
−
1
)
−
F
(
n
−
2
)
=
0
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0
F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0
( 2 ) 递推方程写法 :
① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 ,
3
3
3 项 ;
② 在确定特征方程
x
x
x 的次幂 : 从
3
−
1
=
2
3-1=2
3−1=2 到
0
0
0 ;
③ 初步写出没有系数的递推方程 :
x
2
+
x
1
+
x
0
=
0
x^2 + x^1 + x^0 = 0
x2+x1+x0=0
④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程
x
2
+
x
1
+
x
0
=
0
x^2 + x^1 + x^0 = 0
x2+x1+x0=0 与
F
(
n
)
−
F
(
n
−
1
)
−
F
(
n
−
2
)
=
0
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0
F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0 对应位的系数填充到特征方程中 :
-
x
2
x^2
x2 前的系数 对应F
(
n
)
F(n)
F(n) 项前的系数1
1
1 ; -
x
1
x^1
x1 前的系数 对应F
(
n
−
1
)
F(n-1)
F(n−1) 项前的系数−
1
-1
−1 ; -
x
0
x^0
x0 前的系数 对应F
(
n
−
2
)
F(n-2)
F(n−2) 项前的系数−
1
-1
−1 ;
则最终的 特征方程是
1
x
2
+
(
−
1
)
x
1
+
(
−
1
)
x
0
=
0
1 x^2 + (-1)x^1 + (-1)x^0 = 0
1x2+(−1)x1+(−1)x0=0 , 化简后为 :
x
2
−
x
−
1
=
0
x^2 - x - 1 = 0
x2−x−1=0
特征方程的特征根是 : 上述方程的解就是特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
x
=
1
±
5
2
x = \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
x=21±5
参考 : 一元二次方程形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
ax2+bx+c=0
解为 :x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
3 . 写出斐波那契数列的通解 :
斐波那契数列递推方程的特征根是 :
1
±
5
2
\cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
21±5 ;
q
1
=
1
+
5
2
q_1 = \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}
q1=21+5 ,
q
2
=
1
−
5
2
q_2 =\cfrac{1 - \sqrt{5}}{2}
q2=21−5
其通解的形式为
F
(
n
)
=
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
F(n) = c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
F(n)=c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn
将特征根
q
1
,
q
2
q_1 , q_2
q1,q2 代入上述通解形式后变成 :
F
(
n
)
=
c
1
(
1
+
5
2
)
n
+
c
2
(
1
−
5
2
)
n
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n
F(n)=c1(21+5)n+c2(21−5)n
4 . 将递推方程初值代入 通解 , 求解通解中的常数:
斐波那契数列 递推方程初值 :
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1 , F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1
代入上述初值
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1 , F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1 到 递推方程通解
F
(
n
)
=
c
1
(
1
+
5
2
)
n
+
c
2
(
1
−
5
2
)
n
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n
F(n)=c1(21+5)n+c2(21−5)n 中 , 得到如下方程组 :
{
c
1
(
1
+
5
2
)
0
+
c
2
(
1
−
5
2
)
0
=
F
(
0
)
=
1
c
1
(
1
+
5
2
)
1
+
c
2
(
1
−
5
2
)
1
=
F
(
1
)
=
1
\begin{cases} c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^0 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^0 = F(0) = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^1 + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^1 = F(1) = 1 \end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧c1(21+5)0+c2(21−5)0=F(0)=1c1(21+5)1+c2(21−5)1=F(1)=1
化简后得到 :
{
c
1
+
c
2
=
1
c
1
(
1
+
5
2
)
+
c
2
(
1
−
5
2
)
=
1
\begin{cases} c_1 + c_2 = 1 \\\\ c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) = 1 \end{cases}
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧c1+c2=1c1(21+5)+c2(21−5)=1
解出上述方程组 :
c
1
=
1
5
1
+
5
2
,
c
2
=
−
1
5
1
−
5
2
c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2}
c1=5121+5, c2=−5121−5
将常数
c
1
=
1
5
1
+
5
2
,
c
2
=
−
1
5
1
−
5
2
c_1 =\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \ \ c_2 =-\cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2}
c1=5121+5, c2=−5121−5 代入到通解
F
(
n
)
=
c
1
(
1
+
5
2
)
n
+
c
2
(
1
−
5
2
)
n
F(n) = c_1 ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n + c_2 ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n
F(n)=c1(21+5)n+c2(21−5)n 中 , 可以得到通解 :
F
(
n
)
=
1
5
1
+
5
2
(
1
+
5
2
)
n
−
1
5
1
−
5
2
(
1
−
5
2
)
n
F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^n - \cfrac{1}{\sqrt{5}} \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^n
F(n)=5121+5(21+5)n−5121−5(21−5)n
化简后为 :
F
(
n
)
=
1
5
(
1
+
5
2
)
n
+
1
−
1
5
(
1
−
5
2
)
n
+
1
F(n) = \cfrac{1}{\sqrt{5}}( \cfrac{1 + \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1} - \cfrac{1}{\sqrt{5}} ( \cfrac{1 - \sqrt{5}}{2} ) ^{n+1}
F(n)=51(21+5)n+1−51(21−5)n+1
二、无重根下递推方程求解完整过程
无重根下递推方程求解完整过程 :
- 1 . 写出特征方程 :
- ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ; - ( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- ( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂0
0
0 ; - ( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
- ( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
- ( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
- 2 . 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac - 3 . 构造递推方程的通解 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ; - 4 . 求通解中的常数 : 将递推方程初值代入通解 , 得到
k
k
k 个k
k
k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;- ( 1 ) 常数代入通解 : 得到最终的递推方程的解 ;
递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数
