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文章目录
- 一、递推方程解与特征根之间的关系定理
- 二、递推方程解的线性性质定理
- 三、递推方程解的形式
一、递推方程解与特征根之间的关系定理
特征根 与 递推方程的解 之间是存在关系的 , 如果知道了这个内在联系 , 就可以 根据特征根 , 写出递推方程的解的模式 , 即 通解 ;
递推方程解与特征根相关定理 :
q
q
q 是非
0
0
0 复数 , 则有以下等价关系 :
q
q
q 是特征方程的特征根
⇔
\Leftrightarrow
⇔
q
n
q^n
qn 是递推方程的解 ★
证明上述定理 :
按照定义 , 将 递推方程的解
q
n
q^n
qn , 代入原来的递推方程 ,
递推方程的解是
q
n
q^n
qn , 代表了 第
n
n
n 项的值是
q
n
q^n
qn , 即
H
(
n
)
=
q
n
H(n) = q^n
H(n)=qn ;
递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
a
2
H
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0 ,
- 第
n
n
n 项H
(
n
)
H(n)
H(n) 的值是q
n
q^n
qn - 第
n
−
1
n-1
n−1 项H
(
n
−
1
)
H(n-1)
H(n−1) 的值是q
n
−
1
q^{n-1}
qn−1 - 第
n
−
2
n-2
n−2 项H
(
n
−
2
)
H(n-2)
H(n−2) 的值是q
n
−
2
q^{n-2}
qn−2
⋮
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots
⋮
- 第
n
−
k
n-k
n−k 项H
(
n
−
k
)
H(n-k)
H(n−k) 的值是q
n
−
k
q^{n-k}
qn−k
代入后结果是 :
q
n
\ \ \ \ \ q^n
qn 是递推方程的解
⇔
q
n
−
a
1
q
n
−
1
−
a
2
q
n
−
2
−
⋯
−
a
k
q
n
−
k
=
0
\Leftrightarrow q^n - a_1q^{n-1} - a_2q^{n-2} - \cdots - a_kq^{n-k} = 0
⇔qn−a1qn−1−a2qn−2−⋯−akqn−k=0
将
q
n
−
k
q^{n-k}
qn−k 作为公因式提取出来 ;
⇔
q
n
−
k
(
q
k
−
a
1
q
k
−
1
−
a
2
q
k
−
2
−
⋯
−
a
k
)
=
0
\Leftrightarrow q^{n-k} ( q^k - a_1q^{k-1} - a_2q^{k-2} - \cdots - a_k ) = 0
⇔qn−k(qk−a1qk−1−a2qk−2−⋯−ak)=0
上述两个乘积为
0
0
0 ,
q
n
−
k
q^{n-k}
qn−k 肯定不为
0
0
0 , 则剩余部分结果是
0
0
0 ;
⇔
q
k
−
a
1
q
k
−
1
−
a
2
q
k
−
2
−
⋯
−
a
k
=
0
\Leftrightarrow q^k - a_1q^{k-1} - a_2q^{k-2} - \cdots - a_k = 0
⇔qk−a1qk−1−a2qk−2−⋯−ak=0
上述方程 , 正好是特征方程 , 该特征方程的解 , 就是特征根
q
q
q ;
⇔
\Leftrightarrow
⇔
q
q
q 是特征根
二、递推方程解的线性性质定理
递推方程解的线性性质定理 :
h
1
(
n
)
h_1(n)
h1(n) 和
h
2
(
n
)
h_2(n)
h2(n) 都是同一个递推方程的解 ,
c
1
,
c
2
c_1 , c_2
c1,c2 是任意常数 ,
使用这两个解作 线性组合 ,
c
1
h
1
(
n
)
+
c
2
h
2
(
n
)
c_1h_1(n) + c_2h_2(n)
c1h1(n)+c2h2(n) , 这个线性组合也是递推方程的解 ;
证明方法 :
将
c
1
h
1
(
n
)
+
c
2
h
2
(
n
)
c_1h_1(n) + c_2h_2(n)
c1h1(n)+c2h2(n) 组合代入递推方程的左边式子中 , 化简后为
0
0
0 ;
递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
a
2
H
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0 ,
将
c
1
h
1
(
n
)
+
c
2
h
2
(
n
)
c_1h_1(n) + c_2h_2(n)
c1h1(n)+c2h2(n) 线性组合代入上述方程 ,
-
H
(
n
)
H(n)
H(n) 使用c
1
h
1
(
n
)
+
c
2
h
2
(
n
)
c_1h_1(n) + c_2h_2(n)
c1h1(n)+c2h2(n) 代替 -
H
(
n
−
1
)
H(n-1)
H(n−1) 使用c
1
h
1
(
n
−
1
)
+
c
2
h
2
(
n
−
1
)
c_1h_1(n-1) + c_2h_2(n-1)
c1h1(n−1)+c2h2(n−1) 代替 -
H
(
n
−
2
)
H(n-2)
H(n−2) 使用c
1
h
1
(
n
−
2
)
+
c
2
h
2
(
n
−
2
)
c_1h_1(n-2) + c_2h_2(n-2)
c1h1(n−2)+c2h2(n−2) 代替 -
H
(
n
−
k
)
H(n-k)
H(n−k) 使用c
1
h
1
(
n
−
k
)
+
c
2
h
2
(
n
−
k
)
c_1h_1(n-k) + c_2h_2(n-k)
c1h1(n−k)+c2h2(n−k) 代替
得到 :
(
c
1
h
1
(
n
)
+
c
2
h
2
(
n
)
)
(c_1h_1(n) + c_2h_2(n))
(c1h1(n)+c2h2(n))
−
-
−
a
1
(
a_1(
a1(
c
1
h
1
(
n
−
1
)
+
c
2
h
2
(
n
−
1
)
c_1h_1(n-1) + c_2h_2(n-1)
c1h1(n−1)+c2h2(n−1)
)
−
a
2
) - a_2
)−a2
(
c
1
h
1
(
n
−
2
)
+
c
2
h
2
(
n
−
2
)
)
(c_1h_1(n-2) + c_2h_2(n-2))
(c1h1(n−2)+c2h2(n−2))
−
⋯
−
a
k
(
- \cdots - a_k(
−⋯−ak(
c
1
h
1
(
n
−
k
)
+
c
2
h
2
(
n
−
k
)
c_1h_1(n-k) + c_2h_2(n-k)
c1h1(n−k)+c2h2(n−k)
)
=
0
) = 0
)=0
将所有含有
c
1
h
1
c_1h_1
c1h1 的项合并到一起 , 将所有含有
c
2
h
2
c_2h_2
c2h2 的项 , 合并到一起 , 得到 :
c
1
(
h
1
(
n
)
−
a
1
h
1
(
n
−
1
)
−
a
2
h
1
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
h
1
(
n
−
k
)
)
c_1( h_1(n) - a_1h_1(n-1) - a_2h_1(n-2) - \cdots - a_kh_1(n-k))
c1(h1(n)−a1h1(n−1)−a2h1(n−2)−⋯−akh1(n−k))
+
+
+
c
2
(
h
2
(
n
)
−
a
1
h
2
(
n
−
1
)
−
a
2
h
2
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
h
k
(
n
−
k
)
)
c_2( h_2(n) - a_1h_2(n-1) - a_2h_2(n-2) - \cdots - a_kh_k(n-k))
c2(h2(n)−a1h2(n−1)−a2h2(n−2)−⋯−akhk(n−k))
=
0
= 0
=0
上述式子中 蓝色部分 和 红色部分 分别都是
0
0
0
-
h
1
(
n
)
h_1(n)
h1(n) 是递推方程的解 , 因此c
1
(
h
1
(
n
)
−
a
1
h
1
(
n
−
1
)
−
a
2
h
1
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
h
1
(
n
−
k
)
)
c_1( h_1(n) - a_1h_1(n-1) - a_2h_1(n-2) - \cdots - a_kh_1(n-k))
c1(h1(n)−a1h1(n−1)−a2h1(n−2)−⋯−akh1(n−k)) 的值为0
0
0 ; -
h
2
(
n
)
h_2(n)
h2(n) 是递推方程的解 , 因此c
2
(
h
2
(
n
)
−
a
1
h
2
(
n
−
1
)
−
a
2
h
2
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
h
k
(
n
−
k
)
)
c_2( h_2(n) - a_1h_2(n-1) - a_2h_2(n-2) - \cdots - a_kh_k(n-k))
c2(h2(n)−a1h2(n−1)−a2h2(n−2)−⋯−akhk(n−k)) 的值为0
0
0 ;
三、递推方程解的形式
将之前将的 “递推方程解与特征根之间的关系定理” 与 “递推方程解的线性性质定理” 结合在一起 , 就可以 根据特征根 , 将递推方程的解写出来 ;
假定
q
1
,
q
2
,
⋯
,
q
k
q_1 , q_2 , \cdots , q_k
q1,q2,⋯,qk 是递推方程的特征根 , 一元
k
k
k 次方程有
k
k
k 个根 ;
根据 “递推方程解与特征根之间的关系定理” ,
q
1
n
,
q
2
n
,
⋯
,
q
k
n
q_1^n, q_2^n , \cdots , q_k^n
q1n,q2n,⋯,qkn 都是递推方程的解 ,
将这
k
k
k 个解 , 作线性组合 ,
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn ,
根据 “递推方程解的线性性质定理” , 上述线性组合
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 也是递推方程的解 ;
此时找到了递推方程的解的一种形式 ;
总结下过程 :
- 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ; - 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
- 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂0
0
0 ; - 写出 没有系数 的特征方程 ;
- 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
- 解特征根 : 将 特征方程的特征根解出来 ,
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac - 构造递推方程的解 : 构造
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
满足
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
a
2
H
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0 公式的所有递推方程 , 都具有
c
1
q
1
n
+
c
2
q
2
n
+
⋯
+
c
k
q
k
n
c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n
c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的解 ;
