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文章目录
- 一、递推方程 内容概要
- 二、递推方程 定义
- 三、递推方程 示例
- 四、斐波那契数列 ( Fibnacci )
一、递推方程 内容概要
递推方程 内容概要 :
- 递推方程定义
- 递推方程实例
- 常系数线性递推方程
- 常系数线性递推方程定义
- 公式解法
- 递推方程在计数问题中的应用
二、递推方程 定义
序列
a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
,
⋯
a_0 , a_1 , \cdots , a_n , \cdots
a0,a1,⋯,an,⋯ , 记做
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,
将
a
n
a_n
an 与 某些
a
i
(
i
<
n
)
a_i \ \ ( i < n )
ai (i<n) 联系起来的等式 ,
a
i
a_i
ai 可以是
1
1
1 个 , 也可以是多个 ;
将
a
n
a_n
an 用前面若干项
a
n
−
1
,
a
n
−
2
,
⋯
a_{n-1} , a_{n-2} , \cdots
an−1,an−2,⋯ 表示出来 ,
称为 关于序列
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} 的 递推方程 ;
递推方程组成 : 下面
3
3
3 个是一套 ;
- 数列
- 递推方程
- 初值
给定递推方程 , 和 初值 , 就可以 唯一确定一个序列 ;
-
递推方程表达的关系 : 递推方程 只表达了 项与之前的项 的关系 , 如果 初值不同 , 得到的数列是不同的 ;
-
递推方程与数列关系 : 递推方程代表的不是一个数列 , 是 若干个数列 的 共同的依赖关系 ;
递推方程 , 就是将计数结果 , 表达成一个数列 ,
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} 就是通项公式 ;
序列示例 : 如选取问题 , 从
n
n
n 个元素中选择
r
r
r 个元素 , 如果
n
n
n 给定 , 那么
r
r
r 就是这个参数 ,
- 当
r
=
0
r = 0
r=0 时的选择个数是a
0
a_0
a0 - 当
r
=
1
r = 1
r=1 时的选择个数是a
1
a_1
a1
⋮
\vdots
⋮ - 当
r
=
n
r = n
r=n 时的选择个数是a
n
a_n
an
数列的通项 , 代表了某种计数结果 ;
三、递推方程 示例
1 . 阶乘计算数列 :
1
!
,
2
!
,
3
!
,
4
!
,
5
!
,
6
!
,
⋯
1! , 2! , 3! , 4! , 5! , 6! , \cdots
1!,2!,3!,4!,5!,6!,⋯
数列的 第
1
1
1 项是
1
1
1 的阶乘 , 第
2
2
2 项是
2
2
2 的阶乘 ,
⋯
\cdots
⋯ , 第
n
n
n 项是
n
n
n 的阶乘 ;
2 . 递推方程 :
F
(
n
)
=
n
F
(
n
−
1
)
F(n) = nF(n-1)
F(n)=nF(n−1)
如 : 第
4
4
4 项的值
F
(
4
)
=
5
!
F(4) = 5!
F(4)=5! , 就等于第
4
−
1
=
3
4-1=3
4−1=3 项的值
F
(
4
−
1
)
=
F
(
3
)
=
4
!
F(4-1)=F(3) = 4!
F(4−1)=F(3)=4! 乘以
5
5
5 ;
3 . 初值 :
F
(
1
)
=
1
F(1) = 1
F(1)=1
根据
F
(
1
)
=
1
F(1) = 1
F(1)=1 可以计算
F
(
2
)
F(2)
F(2) , 根据
F
(
2
)
F(2)
F(2) 可以计算
F
(
3
)
F(3)
F(3) , 根据
F
(
3
)
F(3)
F(3) 可以 计算
F
(
4
)
F(4)
F(4) ,
⋯
\cdots
⋯ , 根据
F
(
n
−
1
)
F(n-1)
F(n−1) 可以计算
F
(
n
)
F(n)
F(n) ;
四、斐波那契数列 ( Fibnacci )
1 . 斐波那契数列 :
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
⋯
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots
1,1,2,3,5,8,13,⋯
2 . 递推方程 :
F
(
n
)
=
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
描述 : 第
n
n
n 项等于第
n
−
1
n-1
n−1 项 和 第
n
−
2
n-2
n−2 项之和 ;
如 : 第
4
4
4 项的值
F
(
4
)
=
5
F(4) = 5
F(4)=5 , 就等于
第
4
−
1
=
3
4-1=3
4−1=3 项的值
F
(
4
−
1
)
=
F
(
3
)
=
3
F(4-1)=F(3) = 3
F(4−1)=F(3)=3
加上 第
4
−
2
=
2
4-2=2
4−2=2 项的值
F
(
4
−
2
)
=
F
(
2
)
=
2
F(4-2) = F(2) =2
F(4−2)=F(2)=2 ;
3 . 初值 :
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1 , F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1
根据
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1, F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1 可以计算
F
(
2
)
F(2)
F(2) , 根据
F
(
1
)
,
F
(
2
)
F(1),F(2)
F(1),F(2) 可以计算
F
(
3
)
F(3)
F(3) , 根据
F
(
2
)
F
(
3
)
F(2)F(3)
F(2)F(3) 可以 计算
F
(
4
)
F(4)
F(4) ,
⋯
\cdots
⋯ , 根据
F
(
n
−
2
)
,
F
(
n
−
1
)
F(n-2) , F(n-1)
F(n−2),F(n−1) 可以计算
F
(
n
)
F(n)
F(n) ;
