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文章目录
- 一、集合排列、分步处理示例
排列组合参考博客 :
- 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
- 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
- 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
- 【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
- 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )
- 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
- 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )
- 【组合数学】排列组合 ( 两个计数原则、集合排列示例 | 集合排列、圆排列示例 )
- 【组合数学】排列组合 ( 集合组合、一一对应模型分析示例 )
一、集合排列、分步处理示例
有
9
9
9 本不同的书 ,
4
4
4 本红皮 ,
5
5
5 本白皮 ;
1.
9
9
9 本书的排列方式 :
9
9
9 本书 , 每本书都是不同的 , 元素不重复 , 排列方式指的是有序选取 ,
因此这里 元素不重复 , 有序选取 , 对应的是 集合的排列 , 使用集合排列公式 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
9
,
9
)
=
9
!
(
9
−
9
)
!
=
9
!
N = P(n,r) = P(9, 9) = \cfrac{9!}{(9-9)!} = 9!
N=P(n,r)=P(9,9)=(9−9)!9!=9!
★ 排列数与组合数回顾 :
- 排列数 :
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中 有序 , 不重复 选取
r
r
r 个元素 ,
P
(
n
,
r
)
=
n
!
(
n
−
r
)
!
P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}
P(n,r)=(n−r)!n!
- 组合数 :
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中 无序 , 不重复 选取
r
r
r 个元素 ,
C
(
n
,
r
)
=
P
(
n
,
r
)
r
!
n
!
(
n
−
r
)
!
r
!
C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} \dfrac{n!}{(n-r)!r!}
C(n,r)=r!P(n,r)(n−r)!r!n!
参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
2. 白皮书放在一起的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 , 先将白皮书排列好 , 然后将 所有白皮书 当做一个元素 , 与红皮书进行排序 ;
( 1 ) 第
1
1
1 步 :
5
5
5 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
5
,
5
)
=
5
!
(
5
−
5
)
!
=
5
!
N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=(5−5)!5!=5!
( 2 ) 第
2
2
2 步 :
4
4
4 本红皮书 , 与一组白皮书 进行排序 , 有
5
5
5 个元素 , 将其进行全排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
5
,
5
)
=
5
!
(
5
−
5
)
!
=
5
!
N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=(5−5)!5!=5!
( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述两个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N
=
5
!
5
!
N = 5! \ 5!
N=5! 5!
3. 白皮书放在一起 , 红皮书放在一起 的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 ,
- 先将白皮书排列好 ;
- 再将红皮书排列好 ;
- 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;
( 1 ) 第
1
1
1 步 :
5
5
5 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
5
,
5
)
=
5
!
(
5
−
5
)
!
=
5
!
N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=(5−5)!5!=5!
( 2 ) 第
2
2
2 步 :
4
4
4 本红皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
4
,
4
)
=
4
!
(
4
−
4
)
!
=
4
!
N = P(n,r) = P(4, 4) = \cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!
N=P(n,r)=P(4,4)=(4−4)!4!=4!
( 3 ) 第
3
3
3 步 : 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
2
,
2
)
=
2
!
(
2
−
2
)
!
=
2
!
N = P(n,r) = P(2, 2) = \cfrac{2!}{(2-2)!} = 2!
N=P(n,r)=P(2,2)=(2−2)!2!=2!
( 4 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述
3
3
3 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N
=
5
!
4
!
2
!
N = 5! \ 4! \ 2!
N=5! 4! 2!
4. 白皮书和红皮书相间排列 的排列方式 :
分步处理 : 需要进行分步处理 ,
- 先将白皮书排列好 ;
- 再将红皮书插空放入 ;
( 1 ) 第
1
1
1 步 :
5
5
5 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
5
,
5
)
=
5
!
(
5
−
5
)
!
=
5
!
N = P(n,r) = P(5, 5) = \cfrac{5!}{(5-5)!} = 5!
N=P(n,r)=P(5,5)=(5−5)!5!=5!
( 2 ) 第
2
2
2 步 :
5
5
5 本白皮书排列形成了
4
4
4 个空位 , 将红皮书插空放入
4
4
4 个位置 , 即集合全排列 ;
N
=
P
(
n
,
r
)
=
P
(
4
,
4
)
=
4
!
(
4
−
4
)
!
=
4
!
N = P(n,r) = P(4, 4) = \cfrac{4!}{(4-4)!} = 4!
N=P(n,r)=P(4,4)=(4−4)!4!=4!
( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述
2
2
2 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;
N
=
5
!
4
!
N = 5! \ 4!
N=5! 4!
