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文章目录
- 一、排列组合内容概要
- 二、选取问题
- 三、集合排列
- 四、环排列
- 五、集合组合
参考博客 :
- 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
- 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
一、排列组合内容概要
排列组合内容概要 :
- 选取问题
- 集合的排列与组合问题
- 基本计数公式应用
- 多重集的排列与组合问题
二、选取问题
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中选取
r
r
r 个元素 ;
根据 元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :
| 元素不重复 | 元素可以重复 | |
|---|---|---|
| 有序选取 | 集合排列
P ( n , r ) P(n,r) P(n,r) |
多重集排列 |
| 无序选取 | 集合组合
C ( n , r ) C(n,r) C(n,r) |
多重集组合 |
选取问题中 :
- 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
- 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
- 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
- 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合
三、集合排列
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中 有序 , 不重复 选取
r
r
r 个元素 ,
该操作称为
S
S
S 集合的一个
r
−
r-
r− 排列 ,
S
S
S 集合的
r
−
r-
r− 排列记作
P
(
n
,
r
)
P(n, r)
P(n,r)
P
(
n
,
r
)
=
{
n
!
(
n
−
r
)
!
n
≥
r
0
n
<
r
P(n,r)=\begin{cases} \dfrac{n!}{(n-r)!} & n \geq r \\\\ 0 & n < r \end{cases}
P(n,r)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(n−r)!n!0n≥rn<r
该排列公式使用乘法法则得到 : 将整个排列看做
r
r
r 个位置
- 第
1
1
1 个位置有n
n
n 种放置方法 , 即从当前的n
n
n 个元素中任选一个 , 剩下n
−
1
n-1
n−1 个元素 ; - 第
2
2
2 个位置有n
−
1
n-1
n−1 种放置方法 , 即从当前的n
−
1
n-1
n−1 个元素中任选一个 , 剩下n
−
2
n-2
n−2 个元素 ; - 第
3
3
3 个位置有n
−
2
n-2
n−2 种放置方法 , 即从当前的n
−
2
n-2
n−2 个元素中任选一个 , 剩下n
−
3
n-3
n−3 个元素 ;
⋮
\vdots
⋮
- 第
r
r
r 个位置有n
−
(
r
−
1
)
=
n
−
r
+
1
n-(r-1) = n - r + 1
n−(r−1)=n−r+1 种放置方法 , 即从当前的n
−
r
+
1
n - r + 1
n−r+1 个元素中任选一个 , 剩下n
−
r
n-r
n−r 个元素 ;
0
!
=
1
0! = 1
0!=1
四、环排列
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中 有序 , 不重复 选取
r
r
r 个元素 ,
S
S
S 集合的
r
−
r-
r− 环排列数
=
P
(
n
,
r
)
r
=
n
!
r
(
n
−
r
)
!
= \dfrac{P(n,r)}{r} = \dfrac{n!}{r (n-r)!}
=rP(n,r)=r(n−r)!n!
r
r
r 个不同的线性排列 , 相当于同一个环排列 ;
一个环排列 , 从任意位置剪开 , 可以构成
r
r
r 种不同的线性排列 ;
五、集合组合
n
n
n 元集
S
S
S , 从
S
S
S 集合中 无序 , 不重复 选取
r
r
r 个元素 ,
该操作称为
S
S
S 集合的一个
r
−
r-
r− 组合 ,
S
S
S 集合的
r
−
r-
r− 组合记作
C
(
n
,
r
)
C(n, r)
C(n,r)
C
(
n
,
r
)
=
{
P
(
n
,
r
)
r
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
n
≥
r
0
n
<
r
C(n,r)=\begin{cases} \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} & n \geq r \\\\ 0 & n < r \end{cases}
C(n,r)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧r!P(n,r)=r!(n−r)!n!0n≥rn<r
r
−
r-
r− 排列也可以这样理解 ( 先组合后排列 ) : 选出
r
r
r 个有序的排列
C
(
n
,
r
)
C(n,r)
C(n,r) , 可以先将其
r
r
r 个无序的选择做出来 , 然后再对选择好的元素进行全排列
C
(
n
,
r
)
r
!
=
P
(
n
,
r
)
C(n,r) r! = P(n,r)
C(n,r)r!=P(n,r) ;
组合恒等式 :
C
(
n
,
r
)
=
C
(
n
,
n
−
r
)
C(n,r) = C(n, n-r)
C(n,r)=C(n,n−r)
