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文章目录
- 一、偏序关系
- 二、偏序集
- 三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )
- 四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )
- 五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )
一、偏序关系
偏序关系 :
给定非空集合
A
A
A ,
A
≠
∅
A \not= \varnothing
A=∅ ,
R
R
R 关系是
A
A
A 集合上的二元关系 ,
R
⊆
A
×
A
R \subseteq A \times A
R⊆A×A ,
如果
R
R
R 关系满足以下性质 :
- 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;
- 反对称 : 两个顶点之间 有
0
0
0 个或1
1
1 个有向边 ; - 传递 : 前提
a
→
b
,
b
→
c
a \to b , b\to c
a→b,b→c 不成立 默认传递 ; 前提a
→
b
,
b
→
c
a \to b , b\to c
a→b,b→c 成立 必须满足a
→
c
a \to c
a→c 存在 ;
则称
R
R
R 关系是
A
A
A 集合上的 偏序关系 ;
偏序关系表示 : 使用
≼
\preccurlyeq
≼ 符号表示偏序关系 , 读作 “小于等于” ;
符号化表示 :
<
x
,
y
>
∈
R
⇔
x
R
y
⇔
x
≼
y
<x,y> \in R \Leftrightarrow xRy \Leftrightarrow x \preccurlyeq y
<x,y>∈R⇔xRy⇔x≼y , 解读 :
<
x
,
y
>
<x,y>
<x,y> 有序对在偏序关系
R
R
R 中 , 则
x
x
x 与
y
y
y 之间有
R
R
R 关系 ,
x
x
x 小于等于
y
y
y ;
等价关系 是用于 分类 的 , 偏序关系 是用于 组织 的 , 在每个类的内部 , 赋予一个结构 ;
二、偏序集
偏序集 :
≼
\preccurlyeq
≼ 关系 是
A
A
A 集合上的偏序关系 , 则称 集合
A
A
A 与 偏序关系
≼
\preccurlyeq
≼ 构成的 有序对
<
A
,
≼
>
<A, \preccurlyeq>
<A,≼> 称为偏序集 ;
如果集合上有偏序关系 , 那么这个集合就称为偏序集 ;
三、偏序关系示例 ( 大于等于、小于等于、整除 | 有序对元素是单个数值 )
大于等于、小于等于、整除关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 单个数值元素 ;
1. 大于等于、小于等于关系
∅
≠
A
⊆
R
\varnothing \not=A \subseteq R
∅=A⊆R , 非空集合
A
A
A , 是实数集
R
R
R 的子集 ;
集合
A
A
A 上的大于等于关系 , 小于等于关系 , 都是偏序关系 , 这两个关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;
偏序集表示为 :
<
A
,
≤
>
,
<
A
,
≥
>
<A , \leq> , <A, \geq>
<A,≤>,<A,≥>
大于等于关系集合表示 :
≥
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
≥
y
}
\geq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \geq y \}
≥={<x,y> ∣x,y∈A∧x≥y}
小于等于关系集合表示 :
≤
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
≤
y
}
\leq = \{<x, y>\ | x,y \in A \land x \leq y \}
≤={<x,y> ∣x,y∈A∧x≤y}
2. 整除关系
∅
≠
A
⊆
Z
+
=
{
x
∣
x
∈
Z
∧
x
>
0
}
\varnothing \not=A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \}
∅=A⊆Z+={x∣x∈Z∧x>0} , 非空集合
A
A
A , 是正整数集
Z
+
Z_+
Z+ 的子集 ;
集合
A
A
A 上的 整除关系 是偏序关系 , 整除关系都满足 自反 , 反对称 , 传递 关系 ;
偏序集表示为 :
<
A
,
∣
>
<A , |>
<A,∣>
整除关系集合表示 :
∣
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
∣
y
}
|= \{<x, y>\ | x,y \in A \land x | y \}
∣={<x,y> ∣x,y∈A∧x∣y}
x
x
x 整除
y
y
y ,
x
∣
y
x|y
x∣y ,
x
x
x 是除数 (分子) ,
y
y
y 是被除数 (分母) ;
y
x
\dfrac{y}{x}
xy
参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系
四、偏序关系示例 2 ( 包含关系 | 有序对元素是集合 )
包含关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集合 ;
集族
A
\mathscr{A}
A 包含于
A
A
A 集合的幂集 ,
A
⊆
P
(
A
)
\mathscr{A}\subseteq P(A)
A⊆P(A) ;
包含关系 ,
x
x
x 包含于
y
y
y , 符号化表示 :
⊆
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
⊆
y
}
\subseteq = \{<x,y> | x,y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \}
⊆={<x,y>∣x,y∈A∧x⊆y}
包含关系举例 :
前提 :
-
集合
A
=
{
a
,
b
}
A = \{ a, b \}
A={a,b}
-
集族
A
1
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
}
\mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} \}
A1={∅,{a},{b}}
-
集族
A
2
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
\mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}
A2={{a},{a,b}}
-
集族
A
3
=
P
(
A
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
\mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ a , b \} \}
A3=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}} , 该集族也是
A
A
A 的幂集 ;
使用有序对表示以下的包含关系 , 每个有序对的元素都是集合 ;
① 集族
A
1
\mathscr{A}_1
A1 上的所有包含关系 :
⊆
1
=
I
A
1
∪
{
<
∅
,
{
a
}
>
,
<
∅
,
{
b
}
>
}
\subseteq_1 = I_{\mathscr{A}_1} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> \}
⊆1=IA1∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>}
集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
空集包含于任意非空集合 ;
② 集族
A
2
\mathscr{A}_2
A2 上的所有包含关系 :
⊆
2
=
I
A
2
∪
{
<
{
a
}
,
{
a
,
b
}
>
}
\subseteq_2 = I_{\mathscr{A}_2} \cup \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \}
⊆2=IA2∪{<{a},{a,b}>}
集族上的恒等关系是包含关系 , 任意集合都包含于该集合本身 ;
{
a
}
\{ a \}
{a} 集合包含于
{
a
,
b
}
\{ a, b \}
{a,b} 集合 ;
③ 集族
A
3
\mathscr{A}_3
A3 上的所有包含关系 :
⊆
3
=
I
A
3
∪
{
<
∅
,
{
a
}
>
,
<
∅
,
{
b
}
>
,
<
∅
,
{
a
,
b
}
>
,
{
<
{
a
}
,
{
a
,
b
}
>
}
,
{
<
{
b
}
,
{
a
,
b
}
>
}
}
\subseteq_3 = I_{\mathscr{A}_3} \cup \{ <\varnothing , \{ a \}> , <\varnothing , \{ b \}> , <\varnothing , \{ a,b \}> , \{ <\{ a \}, \{ a, b \}> \} , \{ <\{ b \}, \{ a, b \}> \} \}
⊆3=IA3∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,{<{a},{a,b}>},{<{b},{a,b}>}}
集族上的恒等关系是包含关系 ;
空集包含于任意非空集合 ;
{
a
}
\{ a \}
{a} 集合包含于
{
a
,
b
}
\{ a, b \}
{a,b} 集合 ;
{
b
}
\{ b \}
{b} 集合包含于
{
a
,
b
}
\{ a, b \}
{a,b} 集合 ;
五、偏序关系示例 3 ( 加细关系 | 有序对元素是集族 )
加细关系 是 有序对集合 , 其中每个 有序对的元素 是 集族 ;
集合
A
A
A 非空 ,
π
\pi
π 是
A
A
A 集合划分组成的集合 , 每个划分都是一个集族 ;
划分参考 : 【集合论】划分 ( 划分 | 划分示例 | 划分与等价关系 )
集族之间有一种关系 , 加细关系 , 使用符号
≼
加
细
\preccurlyeq_{加细}
≼加细 表示 ;
加细关系
≼
加
细
\preccurlyeq_{加细}
≼加细 符号化表示 :
≼
加
细
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
π
∧
x
是
y
的
加
细
}
\preccurlyeq_{加细} = \{ <x, y> | x, y \in \pi \land x 是 y 的加细 \}
≼加细={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加细}
前提 :
-
集合
A
=
{
a
,
b
,
c
}
A = \{ a, b , c \}
A={a,b,c}
-
集族
A
1
=
{
{
a
,
b
,
c
}
}
\mathscr{A}_1 = \{ \{ a , b , c \} \}
A1={{a,b,c}}
-
集族
A
2
=
{
{
a
}
,
{
b
,
c
}
}
\mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \}
A2={{a},{b,c}}
-
集族
A
3
=
{
{
b
}
,
{
a
,
c
}
}
\mathscr{A}_3= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \}
A3={{b},{a,c}}
-
集族
A
4
=
{
{
c
}
,
{
a
,
b
}
}
\mathscr{A}_4= \{ \{ c \} , \{ a , b \} \}
A4={{c},{a,b}}
-
集族
A
5
=
{
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
}
\mathscr{A}_5= \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \}
A5={{a},{b},{c}}
上述集族都是
A
A
A 集合的划分 ;
划分组成的集合 , 形成新的集合 ;
π
1
=
{
A
1
,
A
2
}
\pi_1 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 \}
π1={A1,A2}
π
2
=
{
A
2
,
A
3
}
\pi_2 = \{ \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 \}
π2={A2,A3}
π
3
=
{
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
,
A
5
}
\pi_3 = \{ \mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \}
π3={A1,A2,A3,A4,A5}
①
π
1
\pi_1
π1 集合中的划分元素的加细关系 :
≼
1
=
I
π
1
∪
{
<
A
2
,
A
1
>
}
\preccurlyeq_1 = I_{\pi1} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1>\}
≼1=Iπ1∪{<A2,A1>}
每个划分都是它自己的加细 ;
A
2
\mathscr{A}_2
A2 是
A
1
\mathscr{A}_1
A1 的加细 ,
A
2
\mathscr{A}_2
A2 小于等于
A
1
\mathscr{A}_1
A1 ;
②
π
2
\pi_2
π2 集合中的划分元素的加细关系 :
≼
2
=
I
π
2
\preccurlyeq_2 = I_{\pi2}
≼2=Iπ2
每个划分都是它自己的加细 ;
A
2
,
A
3
\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_3
A2,A3 互相都不是对方的加细 ;
③
π
3
\pi_3
π3 集合中的划分元素的加细关系 :
≼
3
=
I
π
3
∪
{
<
A
2
,
A
1
>
,
<
A
3
,
A
1
>
,
<
A
4
,
A
1
>
,
<
A
5
,
A
1
>
,
<
A
5
,
A
2
>
,
<
A
5
,
A
3
>
,
<
A
5
,
A
4
>
}
\preccurlyeq_3 = I_{\pi3} \cup \{<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_3, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5, \mathscr{A}_4> \}
≼3=Iπ3∪{<A2,A1>,<A3,A1>,<A4,A1>,<A5,A1>,<A5,A2>,<A5,A3>,<A5,A4>}
每个划分都是它自己的加细 ;
任何划分都是
A
1
\mathscr{A}_1
A1 的加细 ;
A
1
\mathscr{A}_1
A1 是最大的 , 大于等于其它任何划分 ;
A
5
\mathscr{A}_5
A5 是任何划分的加细 ;
A
5
\mathscr{A}_5
A5 是最小的 , 小于等于其它任何划分 ;
