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文章目录
- 一、等价类
- 二、等价类示例
- 三、等价类性质
- 四、商集
- 五、商集示例 1
- 六、商集示例 2
- 七、商集示例 3
一、等价类
R
R
R 关系 是
A
A
A 集合 上的二元关系 ,
A
A
A 集合不为空集 ,
A
≠
∅
A \not= \varnothing
A=∅ ,
对于
A
A
A 集合中的 任意
x
x
x 元素 ,
∀
x
∈
A
\forall x \in A
∀x∈A ,
x
x
x 关于
R
R
R 关系的等价类 是
[
x
]
R
=
{
y
∣
y
∈
A
∧
x
R
y
}
[x]_R = \{ y | y \in A \land xRy \}
[x]R={y∣y∈A∧xRy} ;
x
x
x 关于
R
R
R 关系的等价类 , 简称为
x
x
x 的等价类 , 记作
[
x
]
[x]
[x] ;
[
x
]
R
[x]_R
[x]R 表示
x
x
x 关于
R
R
R 关系下的等价类 ;
该等价类是由所有 与
x
x
x 具有
R
R
R 关系的
y
y
y 组成的集合 ;
如果只有一个等价关系 , 上述的
R
_R
R 下标可以省略 ,
[
x
]
R
[x]_R
[x]R 可以简写成
[
x
]
[x]
[x]
二、等价类示例
集合
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
8
}
A = \{1,2,3,4,5,8\}
A={1,2,3,4,5,8}
R
R
R 关系 是 集合
A
A
A 上的 模
3
3
3 同于关系
符号化表示为 :
R
=
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
≡
y
(
m
o
d
3
)
R = {<x, y> | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} }
R=<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)
≡
\equiv
≡ 符号的含义是 恒等于
1
1
1 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
1
,
4
}
\{ 1, 4 \}
{1,4}
2
2
2 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
2
,
5
,
8
}
\{ 2, 5, 8 \}
{2,5,8}
3
3
3 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
3
}
\{ 3 \}
{3}
上述
3
3
3 个等价类 , 等价类内部存在全域关系 , 等价类之间没有任何关系 ;
三、等价类性质
R
R
R 关系 是
A
A
A 集合 上的等价关系 ,
A
A
A 集合不为空集 ,
A
≠
∅
A \not= \varnothing
A=∅ , 对于任意
A
A
A 集合中的元素
x
,
y
x,y
x,y ,
∀
x
,
y
∈
A
\forall x,y \in A
∀x,y∈A , 有以下性质 :
① 每个元素所在的等价类非空 ;
[
x
]
R
≠
∅
[x]_R \not= \varnothing
[x]R=∅
② 两个元素如果存在关系 , 那么它们的等价类相等 ;
x
R
y
⇒
[
x
]
R
=
[
y
]
R
xRy \Rightarrow [x]_R = [y]_R
xRy⇒[x]R=[y]R
③ 两个元素如果不存在关系 , 那么它们的等价类肯定不相交 ;
¬
x
R
y
⇒
[
x
]
R
∩
[
y
]
R
=
∅
\lnot xRy \Rightarrow [x]_R \cap [y]_R = \varnothing
¬xRy⇒[x]R∩[y]R=∅
④ 所有的等价类的并集 , 就是原来的集合
A
A
A ;
⋃
{
[
x
]
R
∣
x
∈
A
}
=
A
\bigcup \{ [x]_R | x \in A \} = A
⋃{[x]R∣x∈A}=A
四、商集
R
R
R 关系 是
A
A
A 集合 上的等价关系 ,
A
A
A 集合不为空集
A
A
A 集合 关于
R
R
R 关系 的商集 是
A
/
R
=
{
[
x
]
R
∣
x
∈
A
}
A/R = \{ [x]_R | x \in A \}
A/R={[x]R∣x∈A}
简称 :
A
A
A 的商集
商集的本质 : 商集 本质是一个 集合 , 集合中的元素是 等价类 , 该等价类是基于
R
R
R 关系的 ;
五、商集示例 1
集合
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
8
}
A = \{1,2,3,4,5,8\}
A={1,2,3,4,5,8}
R
R
R 关系 是 集合
A
A
A 上的 模
3
3
3 同于关系
符号化表示为 :
R
=
<
x
,
y
>
∣
x
,
y
∈
A
∧
x
≡
y
(
m
o
d
3
)
R = {<x, y> | x, y \in A \land x \equiv y\pmod{3} }
R=<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)
≡
\equiv
≡ 符号的含义是 恒等于
1
1
1 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
1
,
4
}
\{ 1, 4 \}
{1,4}
2
2
2 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
2
,
5
,
8
}
\{ 2, 5, 8 \}
{2,5,8}
3
3
3 在
R
R
R 关系上的等价类是
{
3
}
\{ 3 \}
{3}
商集定义 :
A
/
R
=
{
[
x
]
R
∣
x
∈
A
}
A/R = \{ [x]_R | x \in A \}
A/R={[x]R∣x∈A}
A
A
A 集合关于
R
R
R 关系的商集是 :
A
/
R
=
{
{
1
,
4
}
,
{
2
,
5
,
8
}
,
{
3
}
}
A/R = \{ \{ 1, 4 \} , \{ 2, 5, 8 \} , \{ 3 \} \}
A/R={{1,4},{2,5,8},{3}}
六、商集示例 2
集合
A
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
A = \{ a_1 , a_2 , \cdots , a_n \}
A={a1,a2,⋯,an} 上的等价关系有 :
I
A
I_A
IA 恒等关系 ,
E
A
E_A
EA 全域关系 ;
1. 恒等关系
I
A
I_A
IA : 集合中的每个元素都是一个等价类 ; 分类 粒度最细 ;
A
A
A 集合关于 恒等关系
I
A
I_A
IA 的商集 :
A
/
I
A
=
{
{
a
1
}
,
{
a
2
}
,
⋯
,
{
a
n
}
}
A/I_A = \{ \{ a_1 \} , \{ a_2 \} , \cdots , \{ a_n \} \}
A/IA={{a1},{a2},⋯,{an}}
2. 全域关系
E
A
E_A
EA : 集合中的 所有元素是一个等价类 ; 所有元素放在一起 , 每个元素彼此之间都有关系 ; 该分类 粒度最粗 ;
A
A
A 集合关于 全域关系
E
A
E_A
EA 的商集 :
A
/
E
A
=
{
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
}
}
A/E_A = \{ \{ a_1 ,a_2 , \cdots , a_n \} \}
A/EA={{a1,a2,⋯,an}}
3.
R
i
j
R_{ij}
Rij 关系 : 恒等关系 与
<
a
i
,
a
j
>
,
<
a
j
,
a
i
>
<a_i , a_j> , <a_j , a_i>
<ai,aj>,<aj,ai> 的并集 ; 该关系是 自反 , 对称 , 传递的 , 是等价关系 ;
R
i
j
R_{ij}
Rij 关系描述 :
R
i
j
=
I
A
∪
{
<
a
i
,
a
j
>
,
<
a
j
,
a
i
>
}
R_{ij} = I_A \cup \{ <a_i , a_j> , <a_j , a_i> \}
Rij=IA∪{<ai,aj>,<aj,ai>}
A
A
A 集合关于 全域关系
R
i
j
R_{ij}
Rij 的商集 :
- 将
a
i
,
a
j
a_i, a_j
ai,aj 分在一个等价类中{
a
i
,
a
j
}
\{ a_i , a_j \}
{ai,aj} , 对应{
<
a
i
,
a
j
>
,
<
a
j
,
a
i
>
}
\{ <a_i , a_j> , <a_j , a_i> \}
{<ai,aj>,<aj,ai>} - 将集合中 除
a
i
,
a
j
a_i, a_j
ai,aj 之外的的其它元素单独分成一类 , 对应I
A
I_A
IA ,{
a
1
}
,
⋯
,
{
a
i
−
1
}
,
{
a
i
+
1
}
,
⋯
,
{
a
j
−
1
}
,
{
a
j
+
1
}
,
⋯
,
a
n
}
\{a_1\} , \cdots , \{a_{i - 1}\}, \{a_{i + 1}\}, \cdots , \{a_{j - 1}\} , \{a_{j + 1}\}, \cdots , a_n \}
{a1},⋯,{ai−1},{ai+1},⋯,{aj−1},{aj+1},⋯,an}
A
/
R
i
j
=
{
{
a
i
,
a
j
}
,
{
a
1
}
,
⋯
,
{
a
i
−
1
}
,
{
a
i
+
1
}
,
⋯
,
{
a
j
−
1
}
,
{
a
j
+
1
}
,
⋯
,
a
n
}
,
}
A/R_{ij} = \{ \{ a_i , a_j \} , \{a_1\} , \cdots , \{a_{i - 1}\}, \{a_{i + 1}\}, \cdots , \{a_{j - 1}\} , \{a_{j + 1}\}, \cdots , a_n \} , \}
A/Rij={{ai,aj},{a1},⋯,{ai−1},{ai+1},⋯,{aj−1},{aj+1},⋯,an},}
4. 空关系
∅
\varnothing
∅ 不是集合
A
A
A 上的等价关系 , 空关系不是自反的 ;
七、商集示例 3
集合
A
=
{
a
,
b
,
c
}
A = \{ a , b , c \}
A={a,b,c} 上的全体等价关系 : 共有 五种等价关系 , 只有 三个元素 , 在恒等关系基础上 , 考虑两两元素 之间 2 个方向的 有序对组成 的关系 ;
①
R
1
=
I
A
R_1 = I_A
R1=IA 恒等关系 : 对应的商集为 :
A
/
I
A
=
{
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
}
A/I_A = \{ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} \}
A/IA={{a},{b},{c}}
②
R
2
=
E
A
R_2 = E_A
R2=EA 全域关系 : 对应的商集为 :
A
/
E
A
=
{
{
a
,
b
,
c
}
}
A/E_A = \{ \{ a , b , c \} \}
A/EA={{a,b,c}}
③
R
3
=
I
A
∪
{
<
b
,
c
>
,
<
c
,
b
>
}
R_3 = I_A \cup \{ <b,c>, <c,b> \}
R3=IA∪{<b,c>,<c,b>} 关系 : 对应的商集为 :
A
/
R
3
=
{
{
a
}
,
{
b
,
c
}
}
A/R_3 = \{ \{ a \} , \{ b , c \} \}
A/R3={{a},{b,c}}
④
R
4
=
I
A
∪
{
<
a
,
c
>
,
<
c
,
a
>
}
R_4 = I_A \cup \{ <a,c>, <c,a> \}
R4=IA∪{<a,c>,<c,a>} 关系 : 对应的商集为 :
A
/
R
4
=
{
{
b
}
,
{
a
,
c
}
}
A/R_4= \{ \{ b \} , \{ a , c \} \}
A/R4={{b},{a,c}}
⑤
R
5
=
I
A
∪
{
<
a
,
b
>
,
<
b
,
a
>
}
R_5 = I_A \cup \{ <a,b>, <b,a> \}
R5=IA∪{<a,b>,<b,a>} 关系 : 对应的商集为 :
A
/
R
5
=
{
{
c
}
,
{
a
,
b
}
}
A/R_5 = \{ \{ c \} , \{ a , b \} \}
A/R5={{c},{a,b}}
