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文章目录
- 一、关系闭包
- 二、自反闭包
- 三、对称闭包
- 四、传递闭包
一、关系闭包
包含给定的元素 , 并且 具有指定性质 的 最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系
R
R
R
自反闭包 r ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
对称闭包 s ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
传递闭包 t ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系
定义中有三个重要要素 :
- 包含给定元素
- 具有指定性质
- 最小的二元关系
二、自反闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系
R
⊆
r
(
R
)
R \subseteq r(R)
R⊆r(R)
r
(
R
)
r(R)
r(R) 是自反的
∀
S
(
(
R
⊆
S
∧
S
自
反
)
→
r
(
R
)
⊆
S
)
\forall S ( ( R \subseteq S\land S 自反 ) \to r(R) \subseteq S)
∀S((R⊆S∧S自反)→r(R)⊆S)
关系
R
R
R 的关系图
G
(
R
)
G(R)
G(R) :
R
R
R 的自反闭包
G
(
r
(
R
)
)
G(r ( R ))
G(r(R)) 关系图 : 在
R
R
R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使
r
(
R
)
r(R)
r(R) 变成 自反 的 最小的二元关系 , 自反的条件是所有的顶点都有环 , 这里为四个顶点都添加环 ;
三、对称闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系
R
⊆
s
(
R
)
R \subseteq s(R)
R⊆s(R)
s
(
R
)
s(R)
s(R) 是对称的
∀
S
(
(
R
⊆
S
∧
S
对
称
)
→
r
(
R
)
⊆
S
)
\forall S ( ( R \subseteq S\land S 对称 ) \to r(R) \subseteq S)
∀S((R⊆S∧S对称)→r(R)⊆S)
关系
R
R
R 的关系图
G
(
R
)
G(R)
G(R) :
R
R
R 的对称闭包
G
(
s
(
R
)
)
G(s ( R ))
G(s(R)) 关系图 : 在
R
R
R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使
s
(
R
)
s(R)
s(R) 变成 对称 的 最小的二元关系 , 对称的条件是 任意两个顶点之间有
0
/
2
0/2
0/2 条有向边 , 有
0
0
0 条边的不管 , 有
1
1
1 条边的在添加一条反向有向边 ;
四、传递闭包
自反闭包 r ( R ) : 包含
R
R
R 关系 , 向
R
R
R 关系中 , 添加有序对 , 变成 传递 的 最小的二元关系
R
⊆
t
(
R
)
R \subseteq t(R)
R⊆t(R)
t
(
R
)
t(R)
t(R) 是对称的
∀
S
(
(
R
⊆
S
∧
S
传
递
)
→
r
(
R
)
⊆
S
)
\forall S ( ( R \subseteq S\land S 传递 ) \to r(R) \subseteq S)
∀S((R⊆S∧S传递)→r(R)⊆S)
关系
R
R
R 的关系图
G
(
R
)
G(R)
G(R) :
R
R
R 的对称闭包
G
(
t
(
R
)
)
G(t ( R ))
G(t(R)) 关系图 : 在
R
R
R 的基础上 , 添加有些有序对 , 使
t
(
R
)
t(R)
t(R) 变成 传递 的 最小的二元关系 , 传递的条件是 ① 前提
a
→
b
,
b
→
c
a\to b, b \to c
a→b,b→c 成立 ,
a
→
c
a \to c
a→c 存在 , 或 ② 前提不成立 , 前提不成立的情况下不管默认就是传递的 , 如果前提成立 , 则必修添加对应的第三条边 ;
