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文章目录
- 一、关系幂运算
- 二、关系幂运算示例
- 三、关系幂运算性质
一、关系幂运算
关系
R
R
R 的
n
n
n 次幂定义 :
R
⊆
A
×
A
,
n
∈
N
R \subseteq A \times A , n \in N
R⊆A×A,n∈N
{
R
0
=
I
A
R
n
+
1
=
R
n
∘
R
(
n
≥
0
)
\begin{cases} R^0 = I_A & \\ R^{n +1} = R^n \circ R & ( n \geq 0 ) \end{cases}
{R0=IARn+1=Rn∘R(n≥0)
关系
R
R
R 是 集合
A
A
A 上的 二元关系 ,
R
R
R 的
0
0
0 次幂
R
0
R^0
R0 是恒等关系
I
A
I_A
IA , 关系
R
R
R 的
n
+
1
n + 1
n+1 次幂等于
R
n
+
1
=
R
n
∘
R
R^{n + 1} = R^n \circ R
Rn+1=Rn∘R 其中
n
≥
0
n \geq 0
n≥0 ;
R
1
=
R
0
∘
R
=
R
R^1 = R^0 \circ R = R
R1=R0∘R=R , 恒等关系与 关系
R
R
R 逆序合成 , 结果还是关系
R
R
R , 这个关系
R
R
R 可以是任意关系 ;
恒等关系就是 集合
A
A
A 中每个元素自己跟自己有关系 ;
关系
R
R
R 幂运算结果
R
n
R^n
Rn 关系 也是集合
A
A
A 上的二元关系 , 因此有
R
n
⊆
A
×
A
R^n \subseteq A \times A
Rn⊆A×A
关系
R
R
R 的
n
n
n 次幂 , 就是
n
n
n 个
R
R
R 关系逆序合成 :
R
n
=
R
∘
R
∘
⋯
∘
R
⏟
n
个
R
逆
序
合
成
R^n = \begin{matrix} \underbrace{ R \circ R \circ \cdots \circ R } \\ n 个 R 逆序合成 \end{matrix}
Rn=
R∘R∘⋯∘Rn个R逆序合成
二、关系幂运算示例
集合
A
=
{
a
,
b
,
c
}
A = \{ a, b, c \}
A={a,b,c} 关系
R
R
R 是 集合
A
A
A 上的二元关系 ,
R
⊆
A
×
A
R \subseteq A \times A
R⊆A×A ,
R
=
{
<
a
,
b
>
,
<
b
,
a
>
,
<
a
,
c
>
}
R = \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \}
R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}
关系
R
R
R 的 幂集个数 :
A
A
A 是有限集 ,
A
A
A 上的有序对个数是
3
×
3
=
9
3 \times 3 = 9
3×3=9 个 ,
A
A
A 上的二元关系个数 , 即有序对集合的幂集个数 , 是
2
3
×
3
=
512
2^{3\times 3} =512
23×3=512 个 ;
关系
R
R
R 的
0
0
0 次幂 :
R
0
=
I
A
R^0 = I_A
R0=IA ,
R
R
R 关系的
0
0
0 次幂是恒等关系 , 关系图是每个顶点都有环 , 顶点之间没有关系 ;
关系
R
R
R 的
1
1
1 次幂 :
R
1
=
R
0
∘
R
=
R
R^1 = R^0 \circ R = R
R1=R0∘R=R , 恒等关系
I
A
I_A
IA 与任何关系逆序合成 , 结果还是那个关系 ;
关系
R
R
R 的
2
2
2 次幂 :
R
2
=
R
0
∘
R
=
R
∘
R
=
{
<
a
,
b
>
,
<
b
,
a
>
,
<
a
,
c
>
}
∘
{
<
a
,
b
>
,
<
b
,
a
>
,
<
a
,
c
>
}
=
{
<
a
,
a
>
,
<
b
,
b
>
,
<
b
,
c
>
}
\begin{array}{lcl}R^2 & = & R^0 \circ R \\\\ &=& R \circ R \\\\ &=& \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \}\end{array}
R2====R0∘RR∘R{<a,b>,<b,a>,<a,c>}∘{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,a>,<b,b>,<b,c>}
注意上述
∘
\circ
∘ 运算时逆序合成 , 从后面的关系中合成前面的关系 ;
关系
R
R
R 的
3
3
3 次幂 : 与
R
1
R_1
R1 相同
R
3
=
R
1
∘
R
=
{
<
a
,
a
>
,
<
b
,
b
>
,
<
b
,
c
>
}
∘
{
<
a
,
b
>
,
<
b
,
a
>
,
<
a
,
c
>
}
=
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
c
>
,
<
b
,
a
>
}
=
R
1
\begin{array}{lcl}R^3 & = & R^1 \circ R \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,b>, <a, c> , <b,a> \} \\\\ &=& R^1 \end{array}
R3====R1∘R{<a,a>,<b,b>,<b,c>}∘{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<a,c>,<b,a>}R1
关系
R
R
R 的
4
4
4 次幂 : 与
R
2
R_2
R2 相同
关系
R
R
R 的
5
5
5 次幂 : 与
R
1
R_1
R1 相同
关系
R
R
R 的
2
k
2k
2k 偶数次幂 (
k
=
1
,
2
,
⋯
k=1,2, \cdots
k=1,2,⋯ ) : 与
R
2
R_2
R2 相同
关系
R
R
R 的
2
k
+
1
2k + 1
2k+1 奇数次幂 (
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
k=0,1,2, \cdots
k=0,1,2,⋯ ) : 与
R
1
R_1
R1 相同
三、关系幂运算性质
关系幂运算性质 :
关系
R
R
R 是 集合
A
A
A 上的关系 ,
R
⊆
A
×
A
R \subseteq A \times A
R⊆A×A ,
m
,
n
m,n
m,n 是自然数 ,
m
,
n
∈
N
m,n \in N
m,n∈N ; 关系幂运算有以下两个性质 :
R
m
∘
R
n
=
R
m
+
n
R^m \circ R^n = R^{m + n}
Rm∘Rn=Rm+n
(
R
m
)
n
=
R
m
n
(R^m ) ^n = R^{m n}
(Rm)n=Rmn
