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文章目录
- 一、自反性
- 二、自反性定理
- 三、反自反性
- 四、反自反性定理
- 五、自反与反自反示例
一、自反性
自反性符号描述 :
R
⊆
A
×
A
R \subseteq A \times A
R⊆A×A
R
R
R 关系是 自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∀
x
(
x
∈
A
→
x
R
x
)
\forall x ( x \in A \to xRx )
∀x(x∈A→xRx)
⇔
\Leftrightarrow
⇔
(
∀
x
∈
A
)
x
R
x
(\forall x \in A) xRx
(∀x∈A)xRx
非自反性符号描述 :
R
R
R 是非自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∃
x
(
x
∈
A
∧
¬
x
R
x
)
\exist x( x \in A \land \lnot xRx )
∃x(x∈A∧¬xRx)
自反性文字描述 :
R
R
R 是
A
A
A 集合上的二元关系 ,
R
R
R 是自反的 ,
当且仅当
R
R
R 集合中的 , 任意
x
x
x 属于集合
A
A
A 的元素 ,
x
x
x 与
x
x
x 都有关系
R
R
R ( 必须是所有的
x
x
x )
非自反 文字描述 : 存在
x
x
x 元素 ,
x
x
x 属于
A
A
A 集合中的元素 , 并且
x
x
x 与
x
x
x 没有关系 ;
自反性 是验证 每个元素 与其本身 都有
R
R
R 关系
非自反性 只要有一个元素 与其本身 没有
R
R
R 关系就成立
∅
\varnothing
∅ 上的空关系 , 既是自反的 , 又是反自反的
二、自反性定理
自反性定理 :
R
R
R 是自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
I
A
⊆
R
I_A \subseteq R
IA⊆R
⇔
\Leftrightarrow
⇔
R
−
1
是
自
反
的
R^{-1} 是自反的
R−1是自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
M
(
R
)
M(R)
M(R) 关系矩阵主对角线上的值都为
1
1
1
⇔
\Leftrightarrow
⇔
G
(
R
)
G(R)
G(R) 关系图中每个顶点都有环
文字描述 :
R
R
R 是自反的
当且仅当
R
R
R 包含恒等关系 ,
I
A
⊆
R
I_A \subseteq R
IA⊆R
当且仅当
R
−
1
R^{-1}
R−1 是自反的
当且仅当
M
(
R
)
M(R)
M(R) 关系矩阵主对角线上的元素全部是
1
1
1
当且仅当
G
(
R
)
G(R)
G(R) 关系图中每个顶点均有环
三、反自反性
反自反性 :
R
⊆
A
×
A
R \subseteq A \times A
R⊆A×A
R
R
R 是反自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∀
x
(
x
∈
A
→
¬
x
R
x
)
\forall x ( x \in A \to \lnot xRx )
∀x(x∈A→¬xRx)
⇔
\Leftrightarrow
⇔
(
∀
x
∈
A
)
¬
x
R
x
(\forall x \in A) \lnot xRx
(∀x∈A)¬xRx
关系图 :
自反 是每个点 都有环 ( 重点 )
非自反 是 有的有环 , 有的没有环
反自反 是每个点 都没有环 ( 重点 )
非反自反 是 有的有环 , 有的没有环
∅
\varnothing
∅ 上的空关系 , 既是自反的 , 又是反自反的
四、反自反性定理
反自反定理 :
R
R
R 是反自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
I
A
∩
R
=
∅
I_A \cap R = \varnothing
IA∩R=∅
⇔
\Leftrightarrow
⇔
R
−
1
R^{-1}
R−1 是反自反的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
M
(
R
)
M(R)
M(R) 主对角线上的元素都为
0
0
0
⇔
\Leftrightarrow
⇔
G
(
R
)
G(R)
G(R) 每个顶点处都没有环
文字描述 :
R
R
R 是反自反的
当且仅当 关系
R
R
R 与 恒等关系
I
A
I_A
IA 不相交
当且仅当 关系的逆
R
−
1
R^{-1}
R−1 是反自反的
当且仅当 关系矩阵
M
(
R
)
M(R)
M(R) 主对角线上的元素全部为
0
0
0
当且仅当 关系图
G
(
R
)
G(R)
G(R) 的每个顶点都没有环
五、自反与反自反示例
上述关系图中 , 每个顶点都有环 , 是自反的 ;
上述关系图中 , 每个顶点都没有环 , 是反自反的
上述关系图中 , 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 什么都不是 ;
