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文章目录
- 一、逆运算示例
- 二、合成运算示例 ( 逆序合成 )
- 三、限制运算示例
- 四、像运算示例
一、逆运算示例
A
=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
A = \{ a, b, c, d \}
A={a,b,c,d}
B
=
{
a
,
b
,
<
c
,
d
>
}
B = \{ a, b, <c, d> \}
B={a,b,<c,d>}
C
=
{
<
a
,
b
>
,
<
c
,
d
>
}
C = \{ <a, b> , <c, d> \}
C={<a,b>,<c,d>}
求上述集合的逆运算
求逆运算只能针对于 有序对 进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;
A
A
A 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;
A
−
1
=
∅
A^{-1} = \varnothing
A−1=∅
B
B
B 集合中 有 有序对
<
c
,
d
>
<c, d>
<c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;
B
−
1
=
{
<
d
,
c
>
}
B^{-1} = \{ <d, c> \}
B−1={<d,c>}
C
C
C 集合中 有 有序对
<
a
,
b
>
,
<
c
,
d
>
<a,b> , <c, d>
<a,b>,<c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;
C
−
1
=
{
<
b
,
a
>
,
<
d
,
c
>
}
C^{-1} = \{ <b,a> , <d, c> \}
C−1={<b,a>,<d,c>}
二、合成运算示例 ( 逆序合成 )
B
=
{
a
,
b
,
<
c
,
d
>
}
B = \{ a, b , <c,d> \}
B={a,b,<c,d>}
R
=
{
<
a
,
b
>
,
<
c
,
d
>
}
R = \{ <a,b> , <c,d> \}
R={<a,b>,<c,d>}
G
=
{
<
b
,
e
>
,
<
d
,
c
>
}
G = \{ <b, e> , <d, c> \}
G={<b,e>,<d,c>}
求以下的合成运算结果 , 这里的 合成 指的是 逆序合成
B
o
R
−
1
B o R^{-1}
BoR−1
R
−
1
=
{
<
b
,
a
>
,
<
d
,
c
>
}
R^{-1} = \{ <b,a> , <d,c> \}
R−1={<b,a>,<d,c>}
B
o
R
−
1
=
{
<
c
,
d
>
}
o
{
<
b
,
a
>
,
<
d
,
c
>
}
=
{
<
d
,
d
>
}
B o R^{-1} = \{ <c, d> \} o \{ <b,a> , <d,c> \} = \{ <d, d> \}
BoR−1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}
合成 默认是 逆序合成
G
o
B
G o B
GoB
G
o
B
=
{
<
b
,
e
>
,
<
d
,
c
>
}
o
{
<
c
,
d
>
}
=
{
<
c
,
c
>
}
G o B = \{<b,e>, <d, c>\} o \{ <c,d> \} = \{ <c,c> \}
GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}
G
o
R
G o R
GoR
G
o
R
=
{
<
b
,
e
>
,
<
d
,
c
>
}
o
{
<
a
,
b
>
,
<
c
,
d
>
}
=
{
<
a
,
e
>
,
<
c
,
c
>
}
G o R =\{<b,e>, <d, c>\} o \{ <a,b> , <c,d> \} = \{ <a,e>, <c,c> \}
GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}
R
o
G
R o G
RoG
R
o
G
=
{
<
a
,
b
>
,
<
c
,
d
>
}
o
{
<
b
,
e
>
,
<
d
,
c
>
}
=
{
<
d
,
d
>
}
R o G =\{ <a,b> , <c,d> \} o \{<b,e>, <d, c>\} = \{ <d,d> \}
RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}
三、限制运算示例
F
=
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
,
<
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
>
}
F = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \}
F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}
参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制
1. 求
F
↾
{
a
}
F \upharpoonright \{a\}
F↾{a}
F
F
F 集合中的有序对 , 第一个元素是
{
a
}
\{a\}
{a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是
F
F
F 集合 在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的限制 ;
F
↾
{
a
}
=
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
}
F \upharpoonright \{a\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> \}
F↾{a}={<a,b>,<a,{a}>}
2. 求
F
↾
{
{
a
}
}
F \upharpoonright \{\{a\}\}
F↾{{a}}
F
F
F 集合中的有序对 , 第一个元素是
{
{
a
}
}
\{\{a\}\}
{{a}} 集合中的元素的有序对 ,
{
{
a
}
}
\{\{a\}\}
{{a}} 集合中的元素是
{
a
}
\{a\}
{a} , 这些有序对组成的集合就是
F
F
F 集合 在
{
{
a
}
}
\{\{a\}\}
{{a}} 集合上的限制 ;
F
↾
{
{
a
}
}
=
{
<
{
a
,
{
a
}
}
>
}
F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a, \{a\}\}> \}
F↾{{a}}={<{a,{a}}>}
3. 求
F
↾
{
a
,
{
a
}
}
F \upharpoonright \{a, \{a\}\}
F↾{a,{a}}
F
F
F 集合中的有序对 , 第一个元素是
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是
F
F
F 集合 在
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合上的限制 ;
F
↾
{
a
,
{
a
}
}
=
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
,
<
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
>
}
F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \}
F↾{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}
4. 求
F
−
1
↾
{
{
a
}
}
F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\}
F−1↾{{a}}
F
−
1
=
{
<
b
,
a
>
,
<
{
a
}
,
a
>
,
<
{
a
,
{
a
}
}
,
{
a
}
>
}
F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}
F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合中的有序对 , 第一个元素是
{
{
a
}
}
\{\{a\}\}
{{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合 在
{
{
a
}
}
\{\{a\}\}
{{a}} 集合上的限制 ;
F
−
1
↾
{
{
a
}
}
=
{
<
{
a
}
,
a
>
}
F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a\}, a> \}
F−1↾{{a}}={<{a},a>}
四、像运算示例
F
=
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
,
<
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
>
}
F = \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \}
F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}
参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象
F
F
F 集合在
A
A
A 集合的像 , 是
F
F
F 集合在
A
A
A 集合上限制的 值域 ;
1.
F
[
{
a
}
]
F[\{a\}]
F[{a}]
F
F
F 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的像 , 是
F
F
F 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的限制的值域 ,
F
F
F 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的限制是
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
}
\{ <a, b> , <a, \{ a \}> \}
{<a,b>,<a,{a}>} , 对应的
F
F
F 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的像是
{
b
,
{
a
}
}
\{ b, \{a\} \}
{b,{a}}
F
[
{
a
}
]
=
{
b
,
{
a
}
}
F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \}
F[{a}]={b,{a}}
2.
F
[
{
a
,
{
a
}
}
]
F[\{a, \{a\}\}]
F[{a,{a}}]
F
F
F 集合在
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合上的像 , 是
F
F
F 集合在
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合上的限制的值域 ,
F
F
F 集合在
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合上的限制是
{
<
a
,
b
>
,
<
a
,
{
a
}
>
,
<
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
>
}
\{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \}
{<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>} , 对应的
F
F
F 集合在
{
a
,
{
a
}
}
\{a, \{a\}\}
{a,{a}} 集合上的像是
{
b
,
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
\{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \}
{b,{a},{a,{a}}
F
[
{
a
,
{
a
}
}
]
=
{
b
,
{
a
}
,
{
a
,
{
a
}
}
F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \}
F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}
3.
F
−
1
[
{
a
}
]
F^{-1}[\{a\}]
F−1[{a}]
F
−
1
=
{
<
b
,
a
>
,
<
{
a
}
,
a
>
,
<
{
a
,
{
a
}
}
,
{
a
}
>
}
F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}
F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的像 , 是
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的限制的值域 ,
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的限制是
∅
\varnothing
∅ , 对应的
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
a
}
\{a\}
{a} 集合上的像是
∅
\varnothing
∅
F
−
1
[
{
a
}
]
=
∅
F^{-1}[\{a\}] = \varnothing
F−1[{a}]=∅
4.
F
−
1
[
{
{
a
}
}
]
F^{-1}[\{ \{a\} \}]
F−1[{{a}}]
F
−
1
=
{
<
b
,
a
>
,
<
{
a
}
,
a
>
,
<
{
a
,
{
a
}
}
,
{
a
}
>
}
F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \}
F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
{
a
}
}
\{ \{a\} \}
{{a}} 集合上的像 , 是
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
{
a
}
}
\{ \{a\} \}
{{a}} 集合上的限制的值域 ,
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
{
a
}
}
\{ \{a\} \}
{{a}} 集合上的限制是
<
{
a
}
,
a
>
<\{a\}, a>
<{a},a> , 对应的
F
−
1
F^{-1}
F−1 集合在
{
{
a
}
}
\{ \{a\} \}
{{a}} 集合上的像是
{
a
}
\{a\}
{a}
F
−
1
[
{
{
a
}
}
]
=
{
a
}
F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\}
F−1[{{a}}]={a}
