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文章目录
- 一、关系的定义域、值域、域
- 二、关系的定义域、值域、域 示例
- 三、关系的逆运算
- 四、关系的逆序合成运算
- 五、关系的限制
- 六、关系的象
- 七、单根
- 八、单值
- 九、合成运算的性质
一、关系的定义域、值域、域
R
R
R 是一个任意集合
定义域 ( Domain ) :
d
o
m
R
=
{
x
∣
∃
y
(
x
R
y
)
}
dom R = \{ x | \exist y (xRy) \}
domR={x∣∃y(xRy)}
存在
y
y
y ,
x
x
x 与
y
y
y 有
R
R
R 关系 ,
R
R
R 关系是一个集合 , 集合中的元素是有序对 ,
x
R
y
xRy
xRy 是
<
x
,
y
>
<x,y>
<x,y> 有序对 ;
R
R
R 中的有序对 , 第一个元素是
x
x
x , 第二个元素是
y
y
y , 那么可以将该
x
x
x 放入定义域中 ;
R
R
R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成一个定义域 ;
值域 ( Range ) :
r
a
n
R
=
{
y
∣
∃
y
(
x
R
y
)
}
ran R = \{ y | \exist y (xRy) \}
ranR={y∣∃y(xRy)}
R
R
R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成值域 ;
域 ( Field ) :
f
l
d
R
=
d
o
m
R
∪
r
a
n
R
fld R = dom R \cup ran R
fldR=domR∪ranR
域 是 定义域 和 值域的并集 ;
二、关系的定义域、值域、域 示例
1.
R
1
=
{
a
,
b
}
R_1 = \{a, b\}
R1={a,b}
R
1
R_1
R1 中没有有序对 , 因此其 定义域 , 值域为空 , 进而其 域 也为空 ;
d
o
m
R
1
=
∅
dom R_1 = \varnothing
domR1=∅
r
a
n
R
1
=
∅
ran R_1 = \varnothing
ranR1=∅
f
l
d
R
1
=
∅
fld R_1 = \varnothing
fldR1=∅
2.
R
2
=
{
a
,
b
,
<
c
,
d
>
,
<
e
,
f
>
}
R_2 = \{ a, b, <c, d> , <e,f> \}
R2={a,b,<c,d>,<e,f>}
d
o
m
R
2
=
{
c
,
e
}
dom R_2 = \{ c, e \}
domR2={c,e}
r
a
n
R
2
=
{
d
,
f
}
ran R_2 = \{ d, f \}
ranR2={d,f}
f
l
d
R
2
=
{
c
,
d
,
e
,
f
}
fld R_2 = \{ c, d, e , f\}
fldR2={c,d,e,f}
3.
R
3
=
{
<
1
,
2
>
,
<
3
,
4
>
,
<
5
,
6
>
}
R_3 = \{ <1,2>, <3, 4> , <5,6> \}
R3={<1,2>,<3,4>,<5,6>}
d
o
m
R
3
=
{
1
,
3
,
5
}
dom R_3 = \{ 1, 3, 5 \}
domR3={1,3,5}
r
a
n
R
3
=
{
2
,
4
,
6
}
ran R_3 = \{ 2, 4, 6 \}
ranR3={2,4,6}
f
l
d
R
3
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
fld R_3 = \{ 1, 2, 3, 4,5, 6\}
fldR3={1,2,3,4,5,6}
三、关系的逆运算
任意集合
F
,
G
F , G
F,G , 这里两个集合是关系 , 集合中的元素是有序对
逆运算 ( Inverse ) :
F
−
1
=
{
<
x
,
y
>
∣
y
F
x
}
F^{-1} = \{ <x, y> | yFx \}
F−1={<x,y>∣yFx}
将
F
F
F 关系中的所有有序对中的元素 , 前后调换方向 , 有序对中第一个元素变为第二个元素 , 第二个元素变为第一个元素 ;
如 : 将
y
F
x
yFx
yFx , 是
<
y
,
x
>
<y, x>
<y,x> 有序对 , 变成
<
x
,
y
>
<x, y>
<x,y> 有序对 ;
四、关系的逆序合成运算
逆序合成 ( Composite ) :
F
o
G
=
{
<
x
,
y
>
∣
∃
z
(
x
G
z
∧
z
F
y
)
}
FoG = \{ <x, y> | \exist z ( xGz \land zFy ) \}
FoG={<x,y>∣∃z(xGz∧zFy)}
如果 关系
G
G
G 中有
<
x
,
z
>
<x,z>
<x,z> 有序对 , 关系
F
F
F 中有
<
z
,
y
>
<z, y>
<z,y> 有序对 , 就可以得到一个新的有序对
<
x
,
y
>
<x,y>
<x,y> , 该新的有序对在 关系
F
F
F 和 关系
G
G
G 的合成 运算结果中 ;
这种合成是 逆序合成 , 先用
F
o
G
FoG
FoG 中的后面的
G
G
G 关系的有序对 , 然后再用 前者
F
F
F 中的有序对 ;
逆序合成 与之对应的是顺序合成 , 一般情况下使用逆序合成 , 其性质使用方便 ;
五、关系的限制
对于任意集合
F
,
A
F, A
F,A , 可以定义
F
F
F 集合在
A
A
A 集合上的 限制 ( Restriction ) :
F
↾
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
F
y
∧
x
∈
A
}
F \upharpoonright A = \{ <x, y> | xFy \land x \in A \}
F↾A={<x,y>∣xFy∧x∈A}
解析 :
F
F
F 集合是一个关系 , 其元素是 有序对
A
A
A 集合是普通集合 , 其元素就是单纯的单个元素 ;
F
F
F 集合中的 有序对 元素中 , 如果 有序对的 第一个元素 在
A
A
A 集合中, 那么将这个有序对挑出来 , 放到一个新的集合中 , 这个新集合就称为
F
F
F 集合在
A
A
A 集合上的 限制 , 记作
F
↾
A
F \upharpoonright A
F↾A ;
上述 限制 ( Restriction ) 是限制 有序对中的第一个元素 ;
如果想要 限制第二个元素 , 将
F
F
F 集合中的有序对中的 第二个元素属于
A
A
A 的集合的有序对挑出来 , 可以将
F
F
F 关系进行逆运算 , 然后 求
F
−
1
F^{-1}
F−1 的限制 ;
限制的结果仍然是一个关系 , 其集合中的元素是有序对 ;
六、关系的象
对于任意集合
F
,
A
F, A
F,A , 可以定义
F
F
F 集合在
A
A
A 集合上的 像 ( Image ) :
F
(
A
)
=
r
a
n
(
F
↾
A
)
F(A) = ran(F \upharpoonright A)
F(A)=ran(F↾A)
即 ,
F
F
F 在
A
A
A 集合上的 限制 ( Restriction ) 的值域 ;
另一种表示方式 :
F
[
A
]
=
{
y
∣
∃
x
(
x
∈
A
)
∧
x
F
y
}
F [A] = \{ y | \exist x ( x \in A ) \land xFy \}
F[A]={y∣∃x(x∈A)∧xFy}
将
F
F
F 中的 有序对 挑出来 , 然后挑出有序对中第一个元素在
A
A
A 集合中的有序对 , 将上述 有序对的第二个元素挑出来 , 放入新的集合中 , 这个集合就 是
F
F
F 在
A
A
A 集合上的 像 ;
像 的结果不是一个关系 , 而是 符合特定要求的 有序对集合 中的有序对的第二个元素组成的集合 ;
七、单根
任意集合
F
F
F , 单根 ( Single Rooted ) 定义 :
F
F
F 是单根的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∀
y
(
y
∈
r
a
n
F
→
∃
!
x
(
x
∈
d
o
m
F
∧
x
F
y
)
)
\forall y ( y \in ran F \to \exist ! x( x \in domF \land xFy ) )
∀y(y∈ranF→∃!x(x∈domF∧xFy))
⇔
\Leftrightarrow
⇔
(
∀
y
∈
r
a
n
F
)
(
∃
!
x
∈
d
o
m
F
)
(
x
F
y
)
( \forall y \in ran F )( \exist ! x \in domF )(xFy)
(∀y∈ranF)(∃!x∈domF)(xFy)
任何一个
y
y
y ,
y
y
y是有序对中的值域中的元素 , 有序对中与
y
y
y 对应的值
x
x
x 元素 , 即
<
x
,
y
>
<x, y>
<x,y> 构成一个有序对 , 该
x
x
x 存在并且唯一 ;
有序对
<
x
,
y
>
<x, y>
<x,y> 中每个
y
y
y 都对应着不同的
x
x
x
一些谓词公式说明 :
∃
!
\exist !
∃! 表示 唯一存在 ;
∀
x
(
(
x
∈
A
→
B
(
x
)
)
\forall x ( (x \in A \to B(x) )
∀x((x∈A→B(x)) 可以缩写为
(
∀
x
∈
A
)
B
(
x
)
(\forall x \in A)B(x)
(∀x∈A)B(x)
∃
x
(
x
∈
A
∧
B
(
x
)
)
\exist x ( x \in A \land B(x) )
∃x(x∈A∧B(x)) 可以缩写为
(
∃
x
∈
A
)
B
(
x
)
(\exist x \in A)B(x)
(∃x∈A)B(x)
八、单值
任意集合
F
F
F , 单值 ( Single Value ) 定义 :
F
F
F 是单值的
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∀
x
(
x
∈
d
o
m
F
→
∃
!
y
(
y
∈
r
a
n
F
∧
x
F
y
)
)
\forall x ( x \in dom F \to \exist ! y( y \in ranF \land xFy ) )
∀x(x∈domF→∃!y(y∈ranF∧xFy))
⇔
\Leftrightarrow
⇔
(
∀
x
∈
d
o
m
F
)
(
∃
!
y
∈
r
a
n
F
)
(
x
F
y
)
( \forall x \in dom F )( \exist ! y \in ranF )(xFy)
(∀x∈domF)(∃!y∈ranF)(xFy)
任何一个
x
x
x ,
x
x
x是有序对中的定义域域中的元素 , 有序对中与
x
x
x 对应的值
y
y
y 元素 , 即
<
x
,
y
>
<x, y>
<x,y> 构成一个有序对 , 该
y
y
y 存在并且唯一 ;
有序对
<
x
,
y
>
<x, y>
<x,y> 中每个
x
x
x 都对应着不同的
y
y
y
九、合成运算的性质
R
1
,
R
2
,
R
3
R_1, R_2, R_3
R1,R2,R3 是三个集合 , 则有以下性质 :
(
R
1
o
R
2
)
o
R
3
=
(
R
1
o
(
R
2
o
R
3
)
)
(R_1 o R_2) o R_3 = (R_1 o ( R_2 o R_3 ))
(R1oR2)oR3=(R1o(R2oR3))
F
,
G
F, G
F,G 是两集合 , 有以下性质 :
(
F
o
G
)
−
1
=
G
−
1
o
F
−
1
(F o G)^{-1} = G^{-1} o F^{-1}
(FoG)−1=G−1oF−1
合成运算的逆 等于 两个集合逆的合成 ;
