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文章目录
- 一、 特殊关系
- 二、 集合上的特殊关系
- 三、 整除关系
- 四、 大小关系
一、 特殊关系
特殊二元关系 :
- 空关系
- 恒等关系
- 全域关系
- 整除关系
- 小于等于关系
- 包含关系
- 真包含关系
二、 集合上的特殊关系
集合
A
A
A 是任意集合 , 集合
A
A
A 中可以定义以下关系 :
空关系 :
∅
\varnothing
∅ , 空关系中没有关系 ;
恒等关系 :
I
A
=
{
<
x
,
x
>
∣
x
∈
A
}
I_A = \{ <x, x> | x \in A \}
IA={<x,x>∣x∈A}
全域关系 :
E
A
=
A
×
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
}
E_A = A \times A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \}
EA=A×A={<x,y>∣x∈A∧y∈A} , 任何两个元素之间都有关系 ;
上述三种关系是最基本的关系 , 任意集合都能定义上述三种关系 ;
全域关系 是 最大的关系 , 其中包含所有可能的有序对 ;
空关系 是 最小的关系 , 其中没有任何有序对 ;
恒等关系 有特殊意义 , 关系运算中不起到任何作用 ;
三、 整除关系
A
⊆
Z
A \subseteq Z
A⊆Z ,
A
A
A 集合是整数集的子集 , 定义
A
A
A 集合上的整除关系 :
D
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
x
∣
y
}
D_A = \{ <x, y> | x \in A \land y \in A \land x|y \}
DA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x∣y}
其中的
x
∣
y
x|y
x∣y 中的
∣
|
∣ 符号是整除的意思 ,
x
x
x 整除
y
y
y ;
x
x
x 整除
y
y
y ,
x
x
x 是除数 (分母) ,
y
y
y 是被除数 (分子) ;
y
x
\dfrac{y}{x}
xy
y
y
y 能被
x
x
x 整除 ,
x
x
x 是除数 (分母) ,
y
y
y 是被除数 (分子) ;
y
x
\dfrac{y}{x}
xy
整除关系示例 :
A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
A = \{ 1, 2, 3, 4 \}
A={1,2,3,4}
D
A
=
{
<
1
,
1
>
,
<
1
,
2
>
,
<
1
,
3
>
,
<
1
,
4
>
,
<
2
,
2
>
,
<
2
,
4
>
,
<
3
,
3
>
,
<
4
,
4
>
}
D_A = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <1, 4> , <2, 2> , <2, 4> , <3, 3> , <4,4> \}
DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}
四、 大小关系
A
⊆
R
A \subseteq R
A⊆R , 集合
A
A
A 是实数集子集 , 在集合
A
A
A 上有以下二元关系 :
大于关系 ( Great Than ) :
G
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
x
>
y
}
G_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x > y \}
GA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x>y}
大于等于关系 ( Great Than Or Equal To ) :
G
E
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
x
≥
y
}
GE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \geq y \}
GEA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x≥y}
小于关系 ( Less Than ) :
L
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
x
<
y
}
L_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x < y \}
LA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x<y}
小于等于关系 ( Less Than Or Equal To ) :
L
E
A
=
{
<
x
,
y
>
∣
x
∈
A
∧
y
∈
A
∧
x
≤
y
}
LE_A = \{ <x,y> | x \in A \land y \in A \land x \leq y \}
LEA={<x,y>∣x∈A∧y∈A∧x≤y}
如果
A
A
A 集合是有限集 , 则
A
A
A 上的关系是有限个 ;
如果
A
A
A 集合是无限集 , 则
A
A
A 上的关系是无限个 ;
