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一、卡氏积
二、卡氏积示例
三、卡氏积性质
四、 n 维卡氏积
五、 n 维卡氏积个数
六、 n 维卡氏积性质

前置博客 : 【集合论】有序对 ( 有序对 | 有序三元组 | 有序 n 元祖 )

一、卡氏积

卡氏积 :

A , B

$A, B$ 是两个集合 , 由

$A$ 集合中的元素作为第一个元素 , 由

$B$ 集合中的元素作为第二个元素 , 符合上述条件的有序对组成的集合 , 称为集合

$A$ 与

$B$ 的卡氏积 ;

记作 :

A \times B

$A \times B$

符号化表示 :

{

∣

∈

∧

∈

}

A \times B = \{ <x, y> | x \in A \land y \in B \}

$A \times B = {< x, y > ∣ x \in A \land y \in B}$

集合

$A$ 与集合

$B$ 的卡氏积是一个新的集合 , 这个新集合是一个有序对集合 ;

二、卡氏积示例

集合

A

=

{

∅

,

a

}

A = \{ \varnothing , a \}

$A = {\emptyset, a}$ , 集合

B

=

{

1

,

2

,

3

}

B = \{ 1, 2, 3 \}

$B = {1, 2, 3}$

{

∅

}

A \times B = \{ <\varnothing , 1> , <\varnothing , 2>, <\varnothing , 3>, <a, 1> , <a, 2> , <a , 3> \}

$A \times B = {< \emptyset, 1 >, < \emptyset, 2 >, < \emptyset, 3 >, < a, 1 >, < a, 2 >, < a, 3 >}$

每个有序对第一个元素来自

$A$ 集合 , 第二个元素来自

$B$ 集合 ;

{

∅

}

B \times A = \{ <1, \varnothing > , <2, \varnothing >, <3 , \varnothing >, <1, a> , <2, a> , <3, a> \}

$B \times A = {< 1, \emptyset >, < 2, \emptyset >, < 3, \emptyset >, < 1, a >, < 2, a >, < 3, a >}$

每个有序对第一个元素来自

$B$ 集合 , 第二个元素来自

$A$ 集合 ;

{

∅

}

A \times A = \{< \varnothing, \varnothing> , <\varnothing, a> , <a, \varnothing> , <a, a> \}

$A \times A = {< \emptyset, \emptyset >, < \emptyset, a >, < a, \emptyset >, < a, a >}$

每个有序对第一个元素来自

$A$ 集合 , 第二个元素来自

$A$ 集合 ;

{

}

B \times B = \{ <1, 1> , <1, 2> , <1, 3> , <2, 1> , <2, 2> , <2,3> , <3,1> , <3,2> , <3,3> \}

$B \times B = {< 1, 1 >, < 1, 2 >, < 1, 3 >, < 2, 1 >, < 2, 2 >, < 2, 3 >, < 3, 1 >, < 3, 2 >, < 3, 3 >}$

每个有序对第一个元素来自

$B$ 集合 , 第二个元素来自

$B$ 集合 ;

三、卡氏积性质

1. 非交换性

≠

A \times B \not= B \times A

$A \times B \neq = B \times A$

有三种特殊情况 , 交换性成立

①

A = B

$A = B$

②

∅

A = \varnothing

$A = \emptyset$

③

∅

B = \varnothing

$B = \emptyset$

2. 非结合性

(

)

≠

(

)

( A \times B ) \times C \not= A \times ( B \times C)

$(A \times B) \times C \neq = A \times (B \times C)$

有三种特殊情况 , 结合性成立

①

∅

A = \varnothing

$A = \emptyset$

②

∅

B = \varnothing

$B = \emptyset$

③

∅

C = \varnothing

$C = \emptyset$

3. 分配率

(

∪

)

(

)

∪

(

)

A \times ( B \cup C ) = (A \times B) \cup (A \times C)

$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$

4. 有序对为空的情况

∅

⇔

∅

∨

∅

A \times B = \varnothing \Leftrightarrow A = \varnothing \lor B= \varnothing

$A \times B = \emptyset \Leftrightarrow A = \emptyset \lor B = \emptyset$

四、 n 维卡氏积

n 维卡氏积 :

⋯

{

⋯

∣

∈

∧

∈

∧

⋯

∧

∈

}

A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ <x_1 , x_2, \cdots , x_n> | x_1 \in A_1 \land x_2 \in A_2 \land \cdots \land x_n \in A_n \}

$A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} = {< x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > ∣ x_{1} \in A_{1} \land x_{2} \in A_{2} \land \dots \land x_{n} \in A_{n}}$

$n$ 个集合的卡氏积 ,

$n$ 维卡氏积结果 , 每个有序对有

$n$ 个元素 , 每个元素都分别按照指定顺序来自这

$n$ 个集合 ;

⋯

⏟

个

A^n = \begin{matrix} \underbrace{ A \times A \times \cdots \times A } \\ n 个\end{matrix}

$A^{n} = A \times A \times \dots \times A n 个$

这是

$n$ 个集合

$A$ 的

$n$ 维卡氏积 ;

五、 n 维卡氏积个数

n

n

$n$ 维卡氏积个数 :

∣

⋯

|A_i| = n_i \ , \ i = 1, 2, \cdots , n

$∣ A_{i} ∣ = n_{i}, i = 1, 2, \dots, n$

⇒

\Rightarrow

$\Rightarrow$

∣

⋯

∣

⋯

| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n | = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n

$∣ A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} ∣ = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{n}$

∣

|A_i| = n_i

$∣ A_{i} ∣ = n_{i}$ ,

⋯

i = 1, 2, \cdots , n

$i = 1, 2, \dots, n$ : 表示第

$i$ 个集合

A_i

$A_{i}$ 的元素个数是

n_i

$n_{i}$ ;

∣

⋯

∣

| A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n |

$∣ A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} ∣$ : 表示

$n$ 个集合的卡氏积结果集合个数 ;

⋯

n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_n

$n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{n}$ :

$n$ 个集合的卡氏积结果 ;

六、 n 维卡氏积性质

n 维卡氏积性质 : 与

2

2

$2$ 维卡氏积性质类似

【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )

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