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文章目录
- 一、 有序对
- 二、 有序对性质的引理、定理
- 三、 有序三元组
- 四、 有序 n 元组性质定理
一、 有序对
有序对概念 :
<
a
,
b
>
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
<a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}
<a,b>={{a},{a,b}}
其中
a
a
a 是第一个元素 ,
b
b
b 是第二个元素 ;
记做
<
a
,
b
>
<a, b>
<a,b> , 也可以记做
(
a
,
b
)
(a , b)
(a,b)
理解 1 :
a
,
b
a, b
a,b 是有顺序的 , 单个元素的集合中的元素是第一个元素 , 两个元素集合中的另一个元素是第二个元素 ;
理解 2 ( 推荐 ) : 第一个元素出现在每个子集合中 , 第二个元素只出现在一个子集合中 , 通过这种方式 , 保证了有序对的定义 , 一前一后两个元素 , 前后顺序不同 , 对应的有序对不同 ;
下面是相同的两个元素的不同的有序对 :
有序对
<
a
,
b
>
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
<a, b> = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}
<a,b>={{a},{a,b}}
有序对
<
b
,
a
>
=
{
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
<b, a> = \{ \{ b \} , \{ a , b \} \}
<b,a>={{b},{a,b}}
二、 有序对性质的引理、定理
1. 引理 1 :
{
x
,
a
}
=
{
x
,
b
}
\{ x , a \} = \{ x, b \}
{x,a}={x,b}
⇔
\Leftrightarrow
⇔
a
=
b
a=b
a=b
两个集合如果相等 , 当且仅当
a
=
b
a = b
a=b ;
2. 引理 2 : 若
A
=
B
≠
∅
\mathscr{A} = \mathscr{B} \not= \varnothing
A=B=∅ , 则有
①
⋃
A
=
⋃
B
\bigcup \mathscr{A} = \bigcup \mathscr{B}
⋃A=⋃B
②
⋂
A
=
⋂
B
\bigcap \mathscr{A} = \bigcap \mathscr{B}
⋂A=⋂B
说明 : 集族
A
\mathscr{A}
A 与 集族
B
\mathscr{B}
B 相等 , 并且 两个集族都不为空 , 那么 两个集族的广义交相等 , 两个集族的广义并也相等 ;
3. 定理 :
<
a
,
b
>
=
<
c
,
d
>
<a,b> = <c, d>
<a,b>=<c,d>
⇔
\Leftrightarrow
⇔
a
=
c
∧
b
=
d
a = c \land b = d
a=c∧b=d
通过上述定理 , 说明有序对是有顺序的 ;
4. 推论 :
a
≠
b
a \not= b
a=b
⇒
\Rightarrow
⇒
<
a
,
b
>
≠
<
b
,
a
>
<a,b> \not= <b, a>
<a,b>=<b,a>
三、 有序三元组
有序三元组 :
<
a
,
b
,
c
>
=
<
<
a
,
b
>
,
c
>
<a, b, c> = < <a, b> , c >
<a,b,c>=<<a,b>,c>
有序三元组是有序二元组在前 , 第三个元素在后 , 组成的有序对 ;
有序
n
n
n 元祖 :
n
≥
2
n \geq 2
n≥2
<
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
>
=
<
<
a
1
,
⋯
,
a
n
−
1
>
,
a
n
>
<a_1, a_2, \cdots , a_n> = < <a_1, \cdots , a_{n-1}> , a_n >
<a1,a2,⋯,an>=<<a1,⋯,an−1>,an>
先拿前
n
−
1
n-1
n−1 个元素组成一个有序
n
−
1
n-1
n−1 元祖 , 该
n
−
1
n-1
n−1 元祖在前 , 然后跟第
n
n
n 个元素
a
n
a_n
an 在后 , 构成有序对 ;
四、 有序 n 元组性质定理
有序
n
n
n 元组性质定理 :
<
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
>
=
<
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
>
<a_1, a_2, \cdots , a_n> = <b_1, b_2, \cdots , b_n>
<a1,a2,⋯,an>=<b1,b2,⋯,bn>
⇔
\Leftrightarrow
⇔
a
i
=
b
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
a_i = b_i , i = 1, 2, \cdots , n
ai=bi,i=1,2,⋯,n
说明 : 两个有序
n
n
n 元祖 , 每个对应位置上的元素两两相同 , 两个
n
n
n 元组有序对才相等 ;
