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文章目录
- 一、 集合恒等式
- 二、 集合恒等式推广到集族
一、 集合恒等式
1. 幂等律 :
A
∪
A
=
A
A \cup A = A
A∪A=A ,
A
∩
A
=
A
A \cap A = A
A∩A=A
2. 交换律 :
A
∪
B
=
B
∪
A
A \cup B = B \cup A
A∪B=B∪A ,
A
∩
B
=
B
∩
A
A \cap B = B \cap A
A∩B=B∩A
3. 结合律 :
(
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
(
B
∪
C
)
(A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C )
(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
(
A
∩
B
)
∩
C
=
A
∩
(
B
∩
C
)
(A \cap B) \cap C = A \cap ( B \cap C )
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4. 分配率 :
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ,
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
5. 德摩根律 :
① 绝对形式 :
∼
(
A
∪
B
)
=
∼
A
∩
∼
B
\sim ( A \cup B ) = \sim A \cap \sim B
∼(A∪B)=∼A∩∼B ,
∼
(
A
∩
B
)
=
∼
A
∪
∼
B
\sim ( A \cap B ) = \sim A \cup \sim B
∼(A∩B)=∼A∪∼B
② 相对形式 :
A
−
(
B
∪
C
)
=
(
A
−
B
)
∩
(
A
−
C
)
A - (B \cup C) = ( A - B ) \cap (A - C)
A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) ,
A
−
(
B
∩
C
)
=
(
A
−
B
)
∪
(
A
−
C
)
A - (B \cap C) = ( A - B ) \cup (A - C)
A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)
6. 吸收率 :
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
A \cup ( A \cap B ) = A
A∪(A∩B)=A ,
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
A \cap (A \cup B) = A
A∩(A∪B)=A
7. 零律 :
A
∪
E
=
E
A \cup E = E
A∪E=E ,
A
∩
∅
=
∅
A \cap \varnothing = \varnothing
A∩∅=∅
8. 同一律 :
A
∪
∅
=
A
A \cup \varnothing = A
A∪∅=A ,
A
∩
E
=
A
A \cap E = A
A∩E=A
( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )
9. 排中律 :
A
∪
∼
A
=
E
A \cup \sim A = E
A∪∼A=E
10. 矛盾律 :
A
∩
∼
A
=
∅
A \cap \sim A = \varnothing
A∩∼A=∅
11. 余补律 :
∼
∅
=
E
\sim \varnothing = E
∼∅=E ,
∼
E
=
∅
\sim E= \varnothing
∼E=∅
12. 双重否定定律 :
∼
(
∼
A
)
=
A
\sim ( \sim A ) = A
∼(∼A)=A
13. 补交转换律 :
A
−
B
=
A
∩
∼
B
A - B = A \cap \sim B
A−B=A∩∼B
( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )
二、 集合恒等式推广到集族
{
A
α
}
α
∈
S
\{ A_\alpha \}_{\alpha \in S}
{Aα}α∈S 为集族 ,
S
S
S 是指标集 ,
α
\alpha
α 是指标集中的元素 , 对于
S
S
S 集合中的
α
\alpha
α 元素 , 都有一个集合
A
α
A_\alpha
Aα 与之对应 ; 所有的
A
α
A_\alpha
Aα 集合放在一起 , 形成一个集族 ;
B
B
B 是任意的一个集合 ;
1 . 分配律
分配律 ① :
B
∪
(
⋂
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋂
α
∈
S
(
B
∪
A
α
)
B \cup ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B \cup A_\alpha )
B∪(⋂{Aα}α∈S)=α∈S⋂(B∪Aα)
集族中每个集合元素求交 , 然后与
B
B
B 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B
B
B 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;
分配律 ② :
B
∩
(
⋃
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋃
α
∈
S
(
B
∩
A
α
)
B \cap ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B \cap A_\alpha )
B∩(⋃{Aα}α∈S)=α∈S⋃(B∩Aα)
集族中每个集合元素求并 , 然后与
B
B
B 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与
B
B
B 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;
2 . 德摩根律
德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :
∼
(
⋃
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋂
α
∈
S
(
∼
A
α
)
\sim ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )
∼(⋃{Aα}α∈S)=α∈S⋂(∼Aα)
集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :
∼
(
⋂
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋃
α
∈
S
(
∼
A
α
)
\sim ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha )
∼(⋂{Aα}α∈S)=α∈S⋃(∼Aα)
集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :
B
−
(
⋃
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋂
α
∈
S
(
B
−
A
α
)
B - ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )
B−(⋃{Aα}α∈S)=α∈S⋂(B−Aα)
B
B
B 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合
B
B
B 的补集 ) ; 等于
B
B
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;
德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :
B
−
(
⋂
{
A
α
}
α
∈
S
)
=
⋃
α
∈
S
(
B
−
A
α
)
B - ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha )
B−(⋂{Aα}α∈S)=α∈S⋃(B−Aα)
B
B
B 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合
B
B
B 的补集 ) ; 等于
B
B
B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;
