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文章目录
- 一、 集族
- 二、 集族示例
- 三、 多重集
一、 集族
集族 : 除
P
(
A
)
P(A)
P(A) 幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;
带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;
A
\mathscr{A}
A 是一个集族 ,
S
S
S 是一个集合
对于任意
α
∈
S
\alpha \in S
α∈S , 存在 唯一的
A
α
∈
A
A_\alpha \in \mathscr{A}
Aα∈A (
α
\alpha
α 是
S
S
S 中的元素 ,
A
α
A_\alpha
Aα 是集族
A
\mathscr{A}
A 中的集合元素 )
并且
A
\mathscr{A}
A 集族中的任何集合元素 , 都对应
S
S
S 集合中的某一个元素
称
A
\mathscr{A}
A 集族 是以
S
S
S 集合 为指标集的集族
S
S
S 集合 是
A
\mathscr{A}
A 集族 的 指标集
记作 :
A
=
{
A
α
∣
α
∈
S
}
\mathscr{A} = \{A_\alpha | \alpha \in S \}
A={Aα∣α∈S}
如果将
∅
\varnothing
∅ 看做集族 ,
∅
\varnothing
∅ 称为 空集族 ;
二、 集族示例
1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限
集合
A
1
=
{
1
}
A_1 = \{1\}
A1={1} , 集合
A
2
=
{
2
}
A_2 = \{ 2 \}
A2={2} , 那么 集族
A
=
{
A
1
,
A
2
}
\mathscr{A} = \{ A_1 , A_2 \}
A={A1,A2} 是以
{
1
,
2
}
\{1 , 2\}
{1,2} 集合为指标集的集合 ;
2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限
p
p
p 是素数
集合
A
k
=
{
x
∣
x
=
k
(
m
o
d
p
)
}
A_k = \{ x | x = k( mod \ \ p ) \}
Ak={x∣x=k(mod p)} , 其中
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
p
−
1
k = 0, 1 , 2 , \cdots , p-1
k=0,1,2,⋯,p−1
集族
A
=
{
A
0
,
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
p
−
1
}
\mathscr{A} = \{ A_0 , A_1 , A_2 , \cdots , A_{p-1} \}
A={A0,A1,A2,⋯,Ap−1} 是以 集合
{
0
,
1
,
2
,
⋯
,
p
−
1
}
\{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\}
{0,1,2,⋯,p−1} 为指标集的 集族 ;
记作 :
A
=
{
A
k
∣
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
⋯
,
p
−
1
}
}
\mathscr{A} = \{ A_k | k \in \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} \}
A={Ak∣k∈{0,1,2,⋯,p−1}}
3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限
集合
A
n
=
{
x
∈
N
∣
x
=
n
}
An = \{ x \in N \ | \ x = n \}
An={x∈N ∣ x=n} 是由一个自然数元素
n
n
n 组成的集合 ;
集族
A
=
{
A
n
∣
n
∈
N
}
\mathscr{A} = \{ A_n | n \in N \}
A={An∣n∈N} 就是以
N
N
N 为指标集的集族 ;
4. 集族示例 4 : 指标集
N
+
N_+
N+ 无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;
N
+
=
N
−
0
N_+ = N - {0}
N+=N−0 ,
N
+
N_+
N+ 是除
0
0
0 意外的自然数集合
集合
A
n
=
{
x
∣
0
≤
x
<
1
/
n
∧
n
∈
N
}
A_n = \{ x \ | \ 0 \leq x < 1 / n \land n \in N \}
An={x ∣ 0≤x<1/n∧n∈N} ,
x
x
x 是
[
0
,
1
)
[0 , 1)
[0,1) 区间的实数集合 ,
n
n
n 表示除
0
0
0 以外的自然数 ;
A
n
A_n
An 集合中的元素是无限的 , 其取值范围是
[
0
,
1
/
n
)
[ 0, 1/n )
[0,1/n) , 是个区间 ;
集族
A
=
{
A
n
∣
n
∈
N
+
}
\mathscr{A} = \{ A_n | n \in N_+ \}
A={An∣n∈N+} 就是以
N
+
N_+
N+ 为指标集的集族 ;
三、 多重集
多重集 : 全集
E
E
E ,
E
E
E 中的元素 , 多次在集合
A
A
A 中出现 , 称 集合
A
A
A 是多重集 ;
重复度 :
E
E
E 中的元素
a
a
a 在 集合
A
A
A 中 出现
k
k
k 次 , 称
a
a
a 元素在
A
A
A 集合中重复度为
k
k
k ;
多重集示例 :
全集
E
=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
E = \{a, b, c, d \}
E={a,b,c,d}
多重集
A
=
{
a
,
a
,
a
,
c
,
c
,
d
}
A = \{ a , a , a , c , c , d \}
A={a,a,a,c,c,d} ,
a
a
a 元素在
A
A
A 集合的重复度为
3
3
3
b
b
b 元素在
A
A
A 集合的重复度为
0
0
0
c
c
c 元素在
A
A
A 集合的重复度为
2
2
2
d
d
d 元素在
A
A
A 集合的重复度为
1
1
1
集合与多重集关系 : 集合可以看做重复度小于等于
1
1
1 的多重集 ;
