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文章目录
- 一、 真子集
- 二、 空集
- 三、 全集
- 四、 幂集
- 五、 集合元素个数
- 六、 求幂集步骤
一、 真子集
真子集 :
描述 :
A
,
B
A , B
A,B 两个集合 , 如果
A
A
A 集合 是
B
B
B 集合的子集 , 并且
A
≠
B
A \not= B
A=B , 则称
A
A
A 是
B
B
B 的真子集 ,
B
B
B 真包含
A
A
A ;
记作 :
A
⊂
B
A \subset B
A⊂B
符号化表示 :
A
⊂
B
A \subset B
A⊂B
⇔
\Leftrightarrow
⇔
A
⊆
B
∧
A
≠
B
A \subseteq B \land A \not= B
A⊆B∧A=B
非真子集 :
描述 :
A
A
A 集合 不是
B
B
B 集合的真子集 ;
记作 :
A
⊄
B
A \not\subset B
A⊂B
符号化表示 :
A
⊄
B
A \not\subset B
A⊂B
⇔
\Leftrightarrow
⇔
∃
x
(
x
∈
A
∧
x
∉
B
)
∧
A
≠
B
\exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B
∃x(x∈A∧x∈B)∧A=B
( 存在元素
x
x
x 是集合
A
A
A 的元素 , 不是集合
B
B
B 的元素 , 并且
A
,
B
A , B
A,B 不相等 , 则
A
A
A 不是
B
B
B 的真子集 )
真包含关系 性质 :
反自反性 :
A
⊄
A
A \not\subset A
A⊂A
反对称性 : 如果
A
⊂
B
A \subset B
A⊂B , 那么
B
⊄
A
B \not\subset A
B⊂A
传递性 : 如果
A
⊂
B
A \subset B
A⊂B , 并且
B
⊂
C
B \subset C
B⊂C , 那么
A
⊂
C
A \subset C
A⊂C
二、 空集
空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;
记作 :
∅
\varnothing
∅
空集示例 :
A
=
{
x
∣
x
2
+
1
=
0
∧
x
∈
R
}
A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \}
A={x∣x2+1=0∧x∈R}
R
R
R 是实数集合 , 上述
x
x
x 明显无解 , 集合也为空集 ;
空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;
空集推论 : 空集是唯一的 ;
三、 全集
全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作
E
E
E ;
全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;
全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;
( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )
四、 幂集
幂集描述 :
A
A
A 是一个集合 ,
A
A
A 集合的全体子集组成的集合 称为
A
A
A 的幂集 ;
记作 :
P
(
A
)
P(A)
P(A)
符号化表述 :
P
(
A
)
=
{
x
∣
x
⊆
A
}
P(A) = \{ x | x \subseteq A \}
P(A)={x∣x⊆A}
五、 集合元素个数
集合元素个数 :
0
0
0 元集 :
∅
\varnothing
∅
1
1
1 元集 : 含有
1
1
1 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;
2
2
2 元集 : 含有
2
2
2 个元素的集合 ;
⋮
\vdots
⋮
n
n
n 元集 : 含有
n
n
n 个元素的集合 ; (
n
≥
1
n \geq 1
n≥1 )
有穷集 :
∣
A
∣
|A|
∣A∣ 表示集合
A
A
A 中的元素个数 , 如果
A
A
A 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该
A
A
A 集合为有穷集 , 或 有限集 ;
幂集个数定理 : 集合
A
A
A 中的 元素个数
∣
A
∣
=
n
|A| = n
∣A∣=n , 则
A
A
A 的 幂集个数
∣
P
(
A
)
∣
=
2
n
|P(A)| = 2^n
∣P(A)∣=2n ;
六、 求幂集步骤
求幂集步骤 : 求 集合
A
A
A 的幂集 , 需要按照顺序求
A
A
A 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;
低到高元的所有子集 :
0
0
0 元集 ,
1
1
1 元集 ,
2
2
2 元集 ,
⋯
\cdots
⋯ ,
n
n
n 元集 ;
集合
A
=
{
a
,
b
,
c
}
A = \{ a, b , c \}
A={a,b,c}
0
0
0 元集 :
∅
\varnothing
∅
1
1
1 元集 :
{
a
}
\{ a \}
{a} ,
{
b
}
\{ b \}
{b} ,
{
c
}
\{ c \}
{c}
2
2
2 元集 :
{
a
,
b
}
\{ a, b \}
{a,b} ,
{
a
,
c
}
\{ a, c \}
{a,c} ,
{
b
,
c
}
\{ b, c \}
{b,c}
3
3
3 元集 :
{
a
,
b
,
c
}
\{ a, b, c \}
{a,b,c}
集合
A
A
A 的幂集是 :
P
(
A
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
,
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
b
,
c
}
,
{
a
,
b
,
c
}
}
P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \}
P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
