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文章目录
- 一、 命题逻辑推理正确性判定
- 二、 形式结构是永真式 ( 等值演算 )
- 三、 从前提推演结论 ( 逻辑推理 )
一、 命题逻辑推理正确性判定
命题推理 , 根据 前提 , 推理出 结论 ;
如 :
前提 : 是
p
→
(
q
→
r
)
p \to (q \to r)
p→(q→r) ,
p
p
p ,
q
q
q ;
结论 : 是
r
r
r
如何判定根据上述前提 , 推理出的结论是正确的呢 ?
推理定律 :
A
,
B
A,B
A,B 是两个命题 , 如果
A
→
B
A \to B
A→B 是永真式 , 那么
A
⇒
B
A \Rightarrow B
A⇒B ;
推理的形式结构
前提 :
A
1
,
A
2
,
⋯
,
A
k
A_1 , A_2 , \cdots , A_k
A1,A2,⋯,Ak
结论 :
B
B
B
推理的形式结构为 :
(
A
1
∧
A
2
∧
⋯
∧
A
k
)
→
B
(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B
(A1∧A2∧⋯∧Ak)→B
命题逻辑 推理的正确性 判定 , 有两种方法 ;
方法一 : 写出推理的 形式结构 , 查看该推理的形式结构是不是 永真式 ; 如果是永真式 , 那么该推理是正确的 ;
方法二 : 从 前提 推演 结论 , 根据 等值演算规则 , 推理规则 , 进行推演 ;
二、 形式结构是永真式 ( 等值演算 )
等值演算参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )
前提 :
p
→
(
q
→
r
)
p \to (q \to r)
p→(q→r) ,
p
p
p ,
q
q
q ;
结论 :
r
r
r
推理的形式结构是 :
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
∧
q
→
r
(p \to (q \to r)) \land p \land q \to r
(p→(q→r))∧p∧q→r
使用 等值演算 的方法 , 验证上述形式结构是否是 永真式 ;
联结词的 优先级为 : “
¬
\lnot
¬” 大于 “
∧
,
∨
\land , \lor
∧,∨” 大于 “
→
,
↔
\to, \leftrightarrow
→,↔” ; 先从优先级较高的开始进行 ;
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
∧
q
→
r
(p \to (q \to r)) \land p \land q \to r
(p→(q→r))∧p∧q→r
蕴涵等值式 : 使用 蕴涵等值式 规则 , 将上述
(
p
→
(
q
→
r
)
)
(p \to (q \to r))
(p→(q→r)) 进行等值演算 :
⇔
(
¬
p
∨
(
¬
q
∨
r
)
)
∧
p
∧
q
→
r
\Leftrightarrow (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p \land q \to r
⇔(¬p∨(¬q∨r))∧p∧q→r
分配率 : 根据 分配率 , 计算
(
¬
p
∨
(
¬
q
∨
r
)
)
∧
p
(\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \land p
(¬p∨(¬q∨r))∧p 部分 :
⇔
(
(
¬
p
∧
p
)
∨
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
)
)
∧
q
→
r
\Leftrightarrow (( \lnot p \land p ) \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r
⇔((¬p∧p)∨((¬q∨r)∧p))∧q→r
矛盾律 : 其中 根据 矛盾律 可知 ,
¬
p
∧
p
⇔
0
\lnot p \land p \Leftrightarrow 0
¬p∧p⇔0 :
⇔
(
0
∨
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
)
)
∧
q
→
r
\Leftrightarrow ( 0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p ) ) \land q \to r
⇔(0∨((¬q∨r)∧p))∧q→r
同一律 : 根据 同一律 ,
0
∨
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
)
0 \lor ( (\lnot q \lor r) \land p )
0∨((¬q∨r)∧p) 与
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
(\lnot q \lor r) \land p
(¬q∨r)∧p 是等价的 :
⇔
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
)
∧
q
→
r
\Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q \to r
⇔((¬q∨r)∧p)∧q→r
结合律 : 根据 结合律 , 重新结合
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
p
)
∧
q
( (\lnot q \lor r) \land p ) \land q
((¬q∨r)∧p)∧q 为
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
q
)
∧
p
( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p
((¬q∨r)∧q)∧p :
⇔
(
(
¬
q
∨
r
)
∧
q
)
∧
p
→
r
\Leftrightarrow ( (\lnot q \lor r) \land q ) \land p \to r
⇔((¬q∨r)∧q)∧p→r
分配率 : 根据 分配率 , 计算
(
¬
q
∨
r
)
∧
q
(\lnot q \lor r) \land q
(¬q∨r)∧q , 结果是
(
¬
q
∧
q
)
∨
(
r
∧
q
)
(\lnot q \land q) \lor (r \land q)
(¬q∧q)∨(r∧q)
⇔
(
(
¬
q
∧
q
)
∨
(
r
∧
q
)
)
∧
p
→
r
\Leftrightarrow ( (\lnot q \land q) \lor (r \land q) ) \land p \to r
⇔((¬q∧q)∨(r∧q))∧p→r
矛盾律 : 根据 矛盾律 计算
¬
q
∧
q
\lnot q \land q
¬q∧q , 其结果是
0
0
0 :
⇔
(
0
∨
(
r
∧
q
)
)
∧
p
→
r
\Leftrightarrow ( 0 \lor (r \land q) ) \land p \to r
⇔(0∨(r∧q))∧p→r
同一律 : 根据同一律 ,
0
∨
(
r
∧
q
)
0 \lor (r \land q)
0∨(r∧q) 等价于
(
r
∧
q
)
(r \land q)
(r∧q) :
⇔
(
r
∧
q
)
∧
p
→
r
\Leftrightarrow (r \land q) \land p \to r
⇔(r∧q)∧p→r
联结词优先级 :
(
r
∧
q
)
∧
p
(r \land q) \land p
(r∧q)∧p 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;
⇔
(
r
∧
q
∧
p
)
→
r
\Leftrightarrow (r \land q \land p ) \to r
⇔(r∧q∧p)→r
蕴涵等值式 : 根据 蕴涵等值式 , 消去 蕴涵联结词
→
\to
→ :
⇔
¬
(
r
∧
q
∧
p
)
∨
r
\Leftrightarrow \lnot (r \land q \land p) \lor r
⇔¬(r∧q∧p)∨r
德摩根律 : 根据 德摩根律 , 将否定符号分配到括号中 ;
⇔
(
¬
r
∨
¬
q
∨
¬
p
)
∨
r
\Leftrightarrow (\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r
⇔(¬r∨¬q∨¬p)∨r
联结词优先级 :
(
¬
r
∨
¬
q
∨
¬
p
)
∨
r
(\lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p ) \lor r
(¬r∨¬q∨¬p)∨r 中 , 联结词优先级相同 , 括号可以删除 , 将三个命题放在一个括号中 ;
⇔
¬
r
∨
¬
q
∨
¬
p
∨
r
\Leftrightarrow \lnot r \lor \lnot q \lor \lnot p \lor r
⇔¬r∨¬q∨¬p∨r
排中律 : 根据排中律 ,
¬
r
∨
r
\lnot r \lor r
¬r∨r 与
1
1
1 等价 ;
⇔
1
∨
¬
q
∨
¬
p
\Leftrightarrow 1 \lor \lnot q \lor \lnot p
⇔1∨¬q∨¬p
零律 : 根据零律 ,
1
1
1 析取任何值 , 都等价于
1
1
1 :
⇔
1
\Leftrightarrow 1
⇔1
三、 从前提推演结论 ( 逻辑推理 )
逻辑推理参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )
前提 :
p
→
(
q
→
r
)
p \to (q \to r)
p→(q→r) ,
p
p
p ,
q
q
q ;
结论 :
r
r
r
将前提条件使用合取联结词连接起来 ,
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
∧
q
(p \to (q \to r)) \land p \land q
(p→(q→r))∧p∧q , 进行等值演算 , 计算出
r
r
r ;
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
∧
q
(p \to (q \to r)) \land p \land q
(p→(q→r))∧p∧q
等值演算 结合律 :
⇔
(
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
)
∧
q
\Leftrightarrow ((p \to (q \to r)) \land p) \land q
⇔((p→(q→r))∧p)∧q
逻辑推理 假言推理 :
(
A
→
B
)
∧
A
⇒
B
( A \to B ) \land A \Rightarrow B
(A→B)∧A⇒B , 因此从
(
p
→
(
q
→
r
)
)
∧
p
(p \to (q \to r)) \land p
(p→(q→r))∧p 可以推理出
q
→
r
q \to r
q→r ;
⇒
(
q
→
r
)
∨
q
\Rightarrow (q \to r) \lor q
⇒(q→r)∨q
逻辑推理 假言推理 :
(
A
→
B
)
∧
A
⇒
B
( A \to B ) \land A \Rightarrow B
(A→B)∧A⇒B , 因此从
(
q
→
r
)
∨
q
(q \to r) \lor q
(q→r)∨q 可以推理出
r
r
r ;
⇒
r
\Rightarrow r
⇒r
逻辑推理 比 等值演算 快 , 等值演算比较直观 , 逻辑推理需要选择合适的推理定律 ;
