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文章目录
- 一、命题与联结词
- 二、命题公式
- 三、命题公式示例
- 四、联结词优先级
- 五、真值表
基于上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) ;
一、命题与联结词
原子命题 :
p
,
q
,
r
p , q , r
p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;
- 真 :
1
1
1 表示 命题真值 为真 ; - 假 :
0
0
0 表示 命题真值 为假 ;
联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;
- 否定联结词 :
¬
\lnot
¬ - 合取联结词 :
∧
\land
∧ ,p
∧
q
p \land q
p∧q ,p
q
pq
pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ; - 析取联结词 :
∨
\lor
∨ ,p
∨
q
p \lor q
p∨q ,p
q
pq
pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ; - 蕴涵联结词 :
→
\to
→ ,p
→
q
p \to q
p→q ,p
p
p 真q
q
q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ; - 等价联结词 :
↔
\leftrightarrow
↔ ,p
↔
q
p \leftrightarrow q
p↔q ,p
q
pq
pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 ,p
q
pq
pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;
二、命题公式
命题公式 组成 :
① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;
② 如果
A
A
A 是命题公式 , 则
(
¬
A
)
(\lnot A)
(¬A) 也是命题公式 ;
③ 如果
A
,
B
A,B
A,B 是命题公式 , 则
(
A
∧
B
)
,
(
A
∨
B
)
,
(
A
→
B
)
,
(
A
↔
B
)
(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B)
(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;
④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )
三、命题公式示例
命题公式示例 :
简单命题 :
p
p
p
复合命题 : 使用 联结词 的命题称为 复合命题 ;
¬
p
\lnot p
¬p
(
p
→
q
)
(p \to q)
(p→q) , 最外层的括号可以省略 ,
p
→
q
p \to q
p→q
(
p
→
(
q
→
r
)
)
(p \to (q \to r))
(p→(q→r)) , 最外层括号可以省略 , 内层的括号不可以 ,
p
→
(
q
→
r
)
p \to (q \to r)
p→(q→r) ;
四、联结词优先级
联结词优先级 :
“
¬
\lnot
¬” 大于 “
∧
,
∨
\land , \lor
∧,∨” 大于 “
→
,
↔
\to, \leftrightarrow
→,↔”
∧
,
∨
\land , \lor
∧,∨ 优先级相同 ;
→
,
↔
\to, \leftrightarrow
→,↔ 优先级相同 ;
五、真值表
真值表 :
|
p p p |
q q q |
p → q p \to q p→q |
p ∧ ¬ q p \land \lnot q p∧¬q |
p ∧ ( p ∨ q ) ↔ p p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p p∧(p∨q)↔p |
|---|---|---|---|---|
|
0 0 0 |
0 0 0 |
1 1 1 |
0 0 0 |
1 1 1 |
|
0 0 0 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0 0 0 |
1 1 1 |
|
1 1 1 |
0 0 0 |
0 0 0 |
0 0 0 |
1 1 1 |
|
1 1 1 |
1 1 1 |
1 1 1 |
0 0 0 |
1 1 1 |
p
→
q
p \to q
p→q 是 可满足式 ;
p
∧
¬
q
p \land \lnot q
p∧¬q 是 矛盾式 , 又称为 永假式 ;
p
∧
(
p
∨
q
)
↔
p
p \land ( p \lor q ) \leftrightarrow p
p∧(p∨q)↔p 是 重言式 , 又称为 永真式 ;
可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;
矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;
可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;
重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;
