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文章目录
- 一. 生成函数 ( 母函数 ) 的定义
-
- 1. 生成函数定义
-
- ( 1 ) 生成函数的定义
- ( 2 ) 形式幂级数 ( 参考 )
- 2. 生成函数 示例
-
- ( 1 ) 生成函数 示例 1 (
a
n
=
(
m
n
)
a_n = \dbinom{m}{n}
an=(nm) ) - ( 2 ) 生成函数 示例 2 (
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} )
- ( 1 ) 生成函数 示例 1 (
- 2. 牛顿二项式
-
- ( 1 ) 牛顿二项式 系数
- ( 2 ) 牛顿二项式 定理
- 二. 常用 生成函数 ( 重要 )
-
- 1. 与常数相关的生成函数
-
- ( 1 )
{
1
n
}
\{1^n\}
{1n} 的 生成函数 - ( 2 )
{
(
−
1
)
n
}
\{(-1)^n\}
{(−1)n} 的 生成函数 - ( 3 )
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} (k
k
k为正整数 ) 的 生成函数
- ( 1 )
- 2. 与 二项式系数 相关的生成函数
-
- ( 1 )
{
(
m
n
)
}
\{\dbinom{m}{n}\}
{(nm)} 的 生成函数
- ( 1 )
- 3. 与 组合数 相关的生成函数
-
- ( 1 )
{
(
m
+
n
−
1
n
)
}
\{\dbinom{m+n-1}{n}\}
{(nm+n−1)} 的 生成函数 - ( 2 )
{
(
−
1
)
n
(
m
+
n
−
1
n
)
}
\{(-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}\}
{(−1)n(nm+n−1)} 的 生成函数 - ( 3 )
{
(
n
+
1
1
)
}
\{ \dbinom{n+1}{1}\}
{(1n+1)} 的 生成函数
- ( 1 )
一. 生成函数 ( 母函数 ) 的定义
1. 生成函数定义
( 1 ) 生成函数的定义
生成函数定义 :
- 1.假设条件 : 设
a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
a_0 , a_1 , \cdots , a_n
a0,a1,⋯,an 是一个数列 ; - 2.形式幂级数 : 使用 该 数列 做 形式幂级数
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
⋯
A(x) = a_0 + a_1x +a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots
A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯ - 3.生成函数 : 称上述
A
(
x
)
A(x)
A(x) 是 数列a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
a_0 , a_1 , \cdots , a_n
a0,a1,⋯,an 的 生成函数 ;
( 2 ) 形式幂级数 ( 参考 )
形式幂级数 :
- 1.幂级数 : 数学分析 中 重要概念 , 在 指数级的 每一项 均为 与 级数项 序号
n
n
n 相对应的 以 常数倍的(
x
−
a
)
(x-a)
(x−a) 的n
n
n 次方 (n
n
n 是从0
0
0 开始计数的整数 ,a
a
a 为常数 ) ;- 幂级数用途 : 其 被 作为 基础内容 应用到了 实变函数 , 复变函数 , 等众多领域 中 ;
- 2.形式幂级数 : 是 数学中 的 抽奖概念 , 从 幂级数 中 抽离出来 的 代数对象 ; 形式幂级数 和 从 多项式 中 剥离出的 多项式环 类似 , 但是 其 允许 无穷多项式 因子 相加 , 但不像 幂级数 一般 要求 研究 是否收敛 和 是否有确定的 取值 ;
- ① 假设条件 : 设
x
x
x 是一个符号 ,a
i
(
i
=
0
,
1
,
2
,
⋯
)
a_i ( i = 0 , 1 , 2 , \cdots )
ai(i=0,1,2,⋯) 为实数 ; - ② 未定元 形式幂级数 :
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}
A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯=n=0∑∞ 称为x
x
x 的未定元 的 一个 形式幂级数 ;
- ① 假设条件 : 设
- 3.研究重点 : 形式幂级数 中 ,
x
x
x 从来 不指定具体数值 , 不关心 收敛 或 发散 , 关注的重点是其 系数序列a
0
,
a
1
,
⋯
,
a
n
a_0 , a_1 , \cdots , a_n
a0,a1,⋯,an , 研究形式幂级数 完全可以 归结为 讨论 这些系数序列 ;
2. 生成函数 示例
( 1 ) 生成函数 示例 1 (
a
n
=
(
m
n
)
a_n = \dbinom{m}{n}
an=(nm) )
示例题目 : 设
a
n
=
(
m
n
)
a_n = \dbinom{m}{n}
an=(nm) ,
m
m
m 为正整数 , 求数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} 的生成函数
A
(
x
)
A(x)
A(x) ;
解 :
① 列出生成函数 :
A
(
x
)
=
(
m
0
)
x
0
+
(
m
1
)
x
1
+
(
m
2
)
x
2
+
⋯
+
(
m
n
)
x
n
A(x) = \dbinom{m}{0}x^0 + \dbinom{m}{1}x^1 + \dbinom{m}{2}x^2 + \cdots + \dbinom{m}{n}x^n
A(x)=(0m)x0+(1m)x1+(2m)x2+⋯+(nm)xn
② 列出其累加生成函数 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
m
n
)
x
n
A(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n
A(x)=n=0∑∞(nm)xn
③ 当
n
n
n 大于
m
m
m 时 , 从
m
m
m 中 取
n
n
n , 即
(
m
n
)
\dbinom{m}{n}
(nm) 为 0 , 因此可以 直接计算 从
n
=
0
n=0
n=0 到
n
=
m
n=m
n=m 的值 , 即 得到如下步骤 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
m
n
)
x
n
=
∑
n
=
0
m
(
m
n
)
x
n
A(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n
A(x)=n=0∑∞(nm)xn=n=0∑m(nm)xn
④ 根据 二项式定理 的推论内容 ( 设
n
n
n 是正整数 , 对一切
x
x
x 有
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}x^k
(1+x)n=∑k=0n(kn)xk ) 可以得到
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
m
n
)
x
n
=
∑
n
=
0
m
(
m
n
)
x
n
=
(
1
+
x
)
m
A(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n = (1 + x)^m
A(x)=n=0∑∞(nm)xn=n=0∑m(nm)xn=(1+x)m
⑤ 数列
a
n
=
(
m
n
)
a_n = \dbinom{m}{n}
an=(nm) (
m
m
m 为正整数 ) , 的 生成函数 为 :
A
(
x
)
=
(
1
+
x
)
m
A(x) = (1 + x)^m
A(x)=(1+x)m
注意 : 生成函数 从属于 一个数列 , 说明生成函数时 , 先说明其数列 , 指明 数列 的 生成函数 是 某个函数 ;
( 2 ) 生成函数 示例 2 (
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} )
题目 : 给定 正整数
k
k
k , 求
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} 的生成函数 ;
① 写出生成函数 : 将
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} 作为形式幂级数 系数 , 可以得到 如下 等比数列 , 当
x
x
x 充分小的时候 , 其收敛到
1
1
−
k
x
\frac{1}{1-kx}
1−kx1 ;
A
(
x
)
=
k
0
x
0
+
k
1
x
1
+
k
2
x
2
+
k
3
x
3
+
⋯
=
1
1
−
k
x
A(x) = k^0x^0 + k^1x^1 + k^2x^2 + k^3x^3 + \cdots = \frac{1}{1-kx}
A(x)=k0x0+k1x1+k2x2+k3x3+⋯=1−kx1
②
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} 数列的 生成函数 为 :
A
(
x
)
=
1
1
−
k
x
A(x) = \frac{1}{1-kx}
A(x)=1−kx1
2. 牛顿二项式
( 1 ) 牛顿二项式 系数
牛顿二项式 系数 : 组合数的扩展 ,
C
(
m
,
n
)
C(m, n)
C(m,n) 上项不再是大于等于
n
n
n 的数了 , 而是任意实数 ;
- 1.条件 : 任意 实数
r
r
r , 和 整数n
n
n ; - 2.公式 :
(
r
n
)
=
{
0
,
n
<
0
1
,
n
=
0
r
(
r
−
1
)
⋯
(
r
−
n
+
1
)
n
!
,
n
>
0
\dbinom{r}{n} = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n=0 \\ \cfrac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}, & n>0 \end{cases}
(nr)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0,1,n!r(r−1)⋯(r−n+1),n<0n=0n>0 - 3.结论 : 该
(
r
n
)
\dbinom{r}{n}
(nr) 没有 组合意义 , 只是 记号 , 称为 牛顿二项式系数 ;
选取问题中 :
- 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ;
P
(
n
,
r
)
=
n
!
(
n
−
r
)
!
P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}
P(n,r)=(n−r)!n!
- 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ;
C
(
n
,
r
)
=
P
(
n
,
r
)
r
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}
C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!
- 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ;
全
排
列
=
n
!
n
1
!
n
2
!
⋯
n
k
!
全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}
全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列
k
r
,
r
≤
n
i
k^r , \ \ r\leq n_i
kr, r≤ni
- 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ;
N
=
C
(
k
+
r
−
1
,
r
)
N= C(k + r - 1, r)
N=C(k+r−1,r)
( 2 ) 牛顿二项式 定理
牛顿二项式定理 :
- 1.条件 :
α
\alpha
α 为 实数 , 对于一切x
,
y
x , y
x,y , 并且∣
x
y
∣
<
1
\left| \frac{x}{y} \right| < 1
∣∣∣yx∣∣∣<1 ; - 2.结论 :
(
x
+
y
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
α
y
α
−
n
( x + y ) ^ \alpha = \sum^{\infty}_{n=0}\dbinom{\alpha}{n}x^\alpha y^{\alpha - n}
(x+y)α=n=0∑∞(nα)xαyα−n 其中(
α
n
)
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
\dbinom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
(nα)=n!α(α−1)⋯(α−n+1) - 3.与 二项式定理 关系 : 牛顿二项式定理 是 二项式定理 的 推广 , 二项式定理是 牛顿二项式定理 的 特例 ;
- ① 当
α
=
m
\alpha = m
α=m , 且m
m
m 为正整数时 , 当n
>
m
n > m
n>m 时 ,(
m
n
)
=
0
\dbinom{m}{n}=0
(nm)=0 , 因此只需要考虑n
<
m
n<m
n<m 的情况 , 此时 牛顿二项式定理 变成 二项式定理 :(
x
+
y
)
m
=
∑
n
=
0
m
(
m
n
)
x
m
y
m
−
n
( x + y ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}
(x+y)m=n=0∑m(nm)xmym−n
(
1
+
x
)
m
=
∑
n
=
0
m
(
m
n
)
x
m
y
m
−
n
( 1 + x ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}
(1+x)m=n=0∑m(nm)xmym−n
- ① 当
二. 常用 生成函数 ( 重要 )
1. 与常数相关的生成函数
( 1 )
{
1
n
}
\{1^n\}
{1n} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
1
n
a_n = 1^n
an=1n ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
1
−
x
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \frac{1}{1-x} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞xn=1−x1
( 2 )
{
(
−
1
)
n
}
\{(-1)^n\}
{(−1)n} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
(
−
1
)
n
a_n = (-1)^n
an=(−1)n ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
n
=
1
1
+
x
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ & = \frac{1}{1+x} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞(−1)nxn=1+x1
( 3 )
{
k
n
}
\{k^n\}
{kn} (
k
k
k为正整数 ) 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
k
n
a_n = k^n
an=kn ,k
k
k 为正整数 ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
k
n
x
n
=
1
1
−
k
x
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n \\ & = \frac{1}{1-kx} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞knxn=1−kx1
2. 与 二项式系数 相关的生成函数
( 1 )
{
(
m
n
)
}
\{\dbinom{m}{n}\}
{(nm)} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
(
m
n
)
a_n = \dbinom{m}{n}
an=(nm) - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
m
n
)
x
n
=
(
1
+
x
)
m
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n \\ & = ( 1 + x ) ^m \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞(nm)xn=(1+x)m
3. 与 组合数 相关的生成函数
( 1 )
{
(
m
+
n
−
1
n
)
}
\{\dbinom{m+n-1}{n}\}
{(nm+n−1)} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
(
m
+
n
−
1
n
)
a_n = \dbinom{m+n-1}{n}
an=(nm+n−1) ,m
,
n
m,n
m,n 为正整数 ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
m
+
n
−
1
n
)
x
n
=
1
(
1
−
x
)
m
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^m} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞(nm+n−1)xn=(1−x)m1
( 2 )
{
(
−
1
)
n
(
m
+
n
−
1
n
)
}
\{(-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}\}
{(−1)n(nm+n−1)} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
(
−
1
)
n
(
m
+
n
−
1
n
)
a_n = (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}
an=(−1)n(nm+n−1) ,m
,
n
m,n
m,n 为正整数 ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
m
+
n
−
1
n
)
x
n
=
1
(
1
+
x
)
m
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1+x)}^m} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞(−1)n(nm+n−1)xn=(1+x)m1
( 3 )
{
(
n
+
1
1
)
}
\{ \dbinom{n+1}{1}\}
{(1n+1)} 的 生成函数
常用生成函数 :
- 1.形式幂级数 ( 数列 ) :
{
a
n
}
\{a_n\}
{an} ,a
n
=
(
n
+
1
n
)
a_n = \dbinom{n+1}{n}
an=(nn+1) ,n
n
n 为正整数 ; - 2.生成函数展开 :
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
1
n
)
x
n
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
1
)
x
n
=
1
(
1
−
x
)
2
\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{n+1}{n} x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^2} \end{aligned}
A(x)=n=0∑∞(nn+1)xn=n=0∑∞(n+1)xn=(1−x)21
