文章目录

一. 偏序关系
- 1. 偏序关系定义
- - ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )
  - ( 2 ) 偏序关系与等价关系 ( 等价关系用于分类 | 偏序关系用于组织 )
- 2. 偏序集定义
- - ( 1 ) 偏序集定义
二. 偏序关系示例
- 1. 小于等于关系
- - ( 1 ) 小于等于关系说明
  - ( 2 ) 小于等于关系分析
- 2. 大于等于关系
- - ( 1 ) 大于等于关系说明
  - ( 2 ) 大于等于关系分析
- 3. 整除关系
- - ( 1 ) 整除关系说明
  - ( 2 ) 整除关系分析
- 4. 包含关系
- - ( 1 ) 包含关系说明
  - ( 2 ) 包含关系分析
- 5. 加细关系
- - ( 1 ) 加细关系说明
  - ( 2 ) 加细关系分析

一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

偏序关系定义 :

1.前置条件 1 :

A

̸

=

∅

A \not= \varnothing

$A ̸ = \emptyset$ , 并且

R

⊆

A

×

A

R \subseteq A \times A

$R \subseteq A \times A$ ;
2.前置条件 2 : 如果

R

R

$R$ 是自反 , 反对称 , 传递的 ;
- ① 自反 : 每个元素自己和自己都有关系 ,
  $x R x$ ;
- ② 反对称 : 如果
  $x = y$ , 即
  
  x
  
  ̸
  
  =
  
  y
  
  x \not=y
  
  $x ̸ = y$ ,
  
  x
  
  R
  
  y
  
  xRy
  
  $x R y$ 和
  
  y
  
  R
  
  x
  
  yRx
  
  $y R x$ 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
- ③ 传递 : 如果有
  $x R z$ , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;
3.结论 : 称

R

R

$R$ 为

A

A

$A$ 上的偏序关系 ;
4.表示 : 使用

⪯

\preceq

$⪯$ 表示偏序关系 ;
5.读法 :

⪯

\preceq

$⪯$ 读作 "小于等于" ;
6.使用公式表示 :

<

x

,

y

>

∈

R

⟺

x

R

y

⟺

x

⪯

y

<x, y> \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y

$< x, y > \in R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y$
7.公式解读 : 如果

x

x

$x$ ,

y

y

$y$ 两个元素构成有序对

<

x

,

y

>

<x,y>

$< x, y >$ , 并且在偏序关系

R

R

$R$ 中 ,

x

x

$x$ 和

y

y

$y$ 具有

R

R

$R$ 关系 , 也可以写成

x

x

$x$ 小于等于 ( 偏序符号 )

y

y

$y$ ;
8.常见的偏序关系 : 树上的小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非

0

0

$0$ 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;

( 2 ) 偏序关系与等价关系 ( 等价关系用于分类 | 偏序关系用于组织 )

偏序关系与等价关系 :

1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示层次结构 ;
2.等价关系 : 等价关系是用来分类的 , 将一个集合分为几个等价类 ;
3.偏序关系 : 偏序关系通常是用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,

2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

偏序集定义 :

1.前置条件 1 : $\preceq ⪯ 是 A A$
$A$ 上的偏序关系 ;
2.结论 : $\preceq>$
$< A, ⪯ >$ 是偏序集 ;
3.解读 : 集合 $\preceq$
$⪯$ 构成的有序对 , 称为偏序集 ;

二. 偏序关系示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系说明

偏序集示例 1 ( 小于等于关系

≤

\leq

$\leq$ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : $\varnothing \not= A \subseteq R , <A , \leq >$
$\emptyset ̸ = A \subseteq R, < A, \leq >$
2.语言描述 : 如果
$R$ 的子集 , 并且

A

A

$A$ 不能是空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 集合

A

A

$A$ 中的小于等于关系 , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : $\leq = \{ <x,y> | x,y \in A \land x \leq y \}$
$\leq = {< x, y > ∣ x, y \in A \land x \leq y}$

( 2 ) 小于等于关系分析

实数集

A

A

$A$ 上的小于等于关系 (

≤

\leq

$\leq$ ) 分析 :

1.自反性质分析 : $\leq x$
$x \leq x$ , 是成立的 , 小于等于关系是自反的 ;
2.反对称性质分析 :
$x = y$ , 符合反对称性质的定义 , 因此 小于等于关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 :
$z$ , 是成立的 , 因此 小于等于关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 小于等于关系是偏序关系 ;

2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系说明

偏序集示例 2 ( 大于等于关系

≥

\geq

$\geq$ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : $\varnothing \not= A \subseteq R , <A , \geq >$
$\emptyset ̸ = A \subseteq R, < A, \geq >$
2.语言描述 : 如果
$R$ 的子集 , 并且

A

A

$A$ 不能是空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 集合

A

A

$A$ 中的大于等于关系 (

≥

\geq

$\geq$ ) , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : $\geq = \{ <x,y> | x,y \in A \land x \geq y \}$
$\geq = {< x, y > ∣ x, y \in A \land x \geq y}$

( 2 ) 大于等于关系分析

实数集

A

A

$A$ 上的大于等于关系 (

≥

\geq

$\geq$ ) 分析 :

1.自反性质分析 : $\geq x$
$x \geq x$ , 是成立的 , 大于等于关系是自反的 ;
2.反对称性质分析 :
$x = y$ , 符合反对称性质的定义 , 因此 大于等于关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 :
$z$ , 是成立的 , 因此 大于等于关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 大于等于关系是偏序关系 ;

3. 整除关系

( 1 ) 整除关系说明

偏序集示例 3 ( 整除关系是偏序关系 ) :

1.公式表示 : $\varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x > 0 \}<A , | >$
$\emptyset ̸ = A \subseteq Z_{+} = {x ∣ x \in Z \land x > 0} < A, ∣ >$
2.语言描述 : 如果 $Z_+$
$Z_{+}$ 的子集 , 并且

A

A

$A$ 不能是空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 集合

A

A

$A$ 中的整除关系 (

∣

|

$∣$ ) , 是偏序关系 ;
3.使用集合形式表示关系 : $\{ <x,y> | x,y \in A \land x | y \}$
$∣ = {< x, y > ∣ x, y \in A \land x ∣ y}$
4.整除关系 :
$x ∣ y$ ,

x

x

$x$ 是

y

y

$y$ 的因子 , 或

y

y

$y$ 是

x

x

$x$ 的倍数 ;

( 2 ) 整除关系分析

正整数集

A

A

$A$ 上的整除关系 (

∣

|

$∣$ ) 分析 :

1.自反性质分析 :
$x ∣ x$ , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是自反的 ;
2.反对称性质分析 :
$x = y$ , 符合反对称性质的定义 , 因此 整除关系是反对称的 ,
3.传递性质分析 :
$z$ , 是成立的 , 因此 整除关系是传递的 ;
4.总结 : 综上所述 , 整除关系是偏序关系 ;

4. 包含关系

( 1 ) 包含关系说明

偏序集示例 4 ( 包含关系

⊆

\subseteq

$\subseteq$ 是偏序关系 ) :

1.公式表示 : $\mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{<x , y> | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \}$
$A \subseteq P (A), \subseteq = {< x, y > ∣ x, y \in A \land x \subseteq y}$
2.语言描述 : 集合
$P (A)$ ,

P

(

A

)

P(A)

$P (A)$ 的子集合构成集族

A

\mathscr{A}

$A$ , 该集族

A

\mathscr{A}

$A$ 上的包含关系 , 是偏序关系 ;

( 2 ) 包含关系分析

分析集合的子集族之间的包含关系 :

① 假设一个比较简单的集合

{

}

A=\{a, b\}

$A = {a, b}$

② 分析下面

A

A

$A$ 的 3 个子集族 ;

{

∅

{

}

{

}

\mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \}

$A_{1} = {\emptyset, {a}, {b}}$

集族

A

1

\mathscr{A}_1

$A_{1}$ 包含空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 单元集

{

a

}

\{a\}

${a}$ , 单元集

{

b

}

\{b\}

${b}$ ;

{

}

{

}

\mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \}

$A_{2} = {{a}, {a, b}}$

集族

A

2

\mathscr{A}_2

$A_{2}$ 包含单元集

{

a

}

\{a\}

${a}$ , 2 元集

{

a

,

b

}

\{a, b\}

${a, b}$ ;

(

)

{

∅

{

}

{

}

{

}

\mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \}

$A_{3} = P (A) = {\emptyset, {a}, {b}, {a, b}}$

集族

A

3

\mathscr{A}_3

$A_{3}$ 包含空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 单元集

{

a

}

\{a\}

${a}$ , 单元集

{

b

}

\{b\}

${b}$ , 2 元集

{

a

,

b

}

\{a, b\}

${a, b}$ ; 这是集合

A

A

$A$ 的幂集 ;

③ 列举出集族

A

1

\mathscr{A}_1

$A_{1}$ 上的包含关系 :

⊆

∪

{

∅

{

}

∅

{

}

\subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ <\varnothing , \{a\}> , <\varnothing , \{b\}> \}

$\subseteq_{1} = I_{A 1} \cup {< \emptyset, {a} >, < \emptyset, {b} >}$

⊆

1

\subseteq_1

$\subseteq_{1}$ 是集合

A

1

\mathscr{A}1

$A 1$ 上的偏序关系 ;

即分析空集

∅

\varnothing

$\emptyset$ , 单元集

{

a

}

\{a\}

${a}$ , 单元集

{

b

}

\{b\}

${b}$ 三个集合之间的包含关系 :

1.恒等关系 $I_{\mathscr{A}1}$
$I_{A 1}$ :

<

{

a

}

,

{

a

}

>

和

<

{

b

}

,

{

b

}

>

<\{a\} , \{a\}> 和 <\{b\} , \{b\}>

$< {a}, {a} > 和 < {b}, {b} >$ , 集合上的恒等关系 , 每个集合肯定自己包含自己 ;
2. $<\varnothing , \{a\}>$
$< \emptyset, {a} >$ : 空集肯定包含于集合

{

a

}

\{a\}

${a}$ ;
3. $<\varnothing , \{b\}>$
$< \emptyset, {b} >$ : 空集肯定包含于集合

{

b

}

\{b\}

${b}$ ;
4.总结 : 这些包含关系的性质分析 :
- ① 自反 : 每个元素自己包含自己 , $\subseteq A$
  $A \subseteq A$ , 包含关系具有自反性质 ;
- ② 反对称 : 如果集合 $\subseteq B A⊆B , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , 那么 A = B A = B$
  $A = B$ , 显然 包含关系具有反对称性质 ;
- ③ 传递 : 如果 $\subseteq B A⊆B , 并且 A ⊆ C A \subseteq C A⊆C , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C$
  $A \subseteq C$ , 包含关系具有传递性质 ;

④ 列举出集族

A

2

\mathscr{A}_2

$A_{2}$ 上的包含关系 :

⊆

∪

{

}

{

}

\subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ <\{a\} , \{a, b\}>

$\subseteq_{2} = I_{A 2} \cup {< {a}, {a, b} >$

⊆

2

\subseteq_2

$\subseteq_{2}$ 是集合

A

2

\mathscr{A}2

$A 2$ 上的偏序关系 ;

⑤ 列举出集族

A

3

\mathscr{A}_3

$A_{3}$ 上的包含关系 :

⊆

∪

{

∅

{

}

∅

{

}

∅

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

\subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ <\varnothing , \{a\}> , <\varnothing , \{b\}>, <\varnothing , \{a, b\}> , <\{a\} , \{a, b\}> , <\{b\} , \{a, b\}> \}

$\subseteq_{3} = I_{A 3} \cup {< \emptyset, {a} >, < \emptyset, {b} >, < \emptyset, {a, b} >, < {a}, {a, b} >, < {b}, {a, b} >}$

⊆

3

\subseteq_3

$\subseteq_{3}$ 是集合

A

3

\mathscr{A}_3

$A_{3}$ 上的偏序关系 ;

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系说明

偏序集示例 5 ( 加细关系

⪯

加

细

\preceq_{加细}

$⪯_{加细}$ 是偏序关系 ) :

1.加细关系描述 : $\not= \varnothing A̸=∅ , π \pi π 是由 A A$
$A$ 的一些划分组成的集合 ;

⪯

加

细

{

∣

∈

∧

是

的

加

细

}

\preceq_{加细} = \{<x , y> | x , y \in \pi \land x 是 y 的加细\}

$⪯_{加细} = {< x, y > ∣ x, y \in π \land x 是 y 的加细}$

2.划分 : 划分是一个集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合又叫划分快 , 其中每个元素(集族中的元素)集合中的元素是非空集合
$A$ 的元素 ;
- ① 该集族不包含空集 ;
- ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
- ③ 该集族中所有元素取并集 , 得到集合
  $A$ ;

( 2 ) 加细关系分析

分析集合的划分之间的加细关系 :

① 集合

A

=

{

a

,

b

,

c

}

A = \{a, b, c\}

$A = {a, b, c}$ , 下面的划分和加细都基于该集合进行分析 ;

② 下面列出集合

A

A

$A$ 的 5 个划分 :

划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;

{

}

\mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \}

$A_{1} = {{a, b, c}}$

划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

{

}

{

}

\mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \}

$A_{2} = {{a}, {b, c}}$

划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

{

}

{

}

\mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \}

$A_{3} = {{b}, {a, c}}$

划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;

{

}

{

}

\mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\}

$A_{4} = {{c}, {a, b}}$

划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类

{

}

{

}

{

}

\mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \}

$A_{5} = {{a}, {b}, {c}}$

③ 下面列出要分析的几个由划分组成的集合 :

集合 1 :

{

}

\pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \}

$π_{1} = {A_{1}, A_{2}}$

集合 2 :

{

}

\pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \}

$π_{2} = {A_{2}, A_{3}}$

集合 3 :

{

}

\pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \}

$π_{3} = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}}$

④ 集合

π

1

\pi_1

$π_{1}$ 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中有 $I_{\pi 1} Iπ1 , < A 1 , A 1 > <\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1> <A1,A1> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2>$
$< A_{2}, A_{2} >$ ;
2.其它加细关系 : $\mathscr{A}_2 A2 划分中的每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1$
$A_{1}$ 划分中块的某个划分块的子集合 , 因此有

A

2

\mathscr{A}_2

$A_{2}$ 是

A

1

\mathscr{A}_1

$A_{1}$ 的加细 , 记做

<

A

2

,

A

1

>

<\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1>

$< A_{2}, A_{1} >$ ;
3.加细的定义 : $\mathscr{A}_1 A1 和 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A$
$A$ 的划分,

A

2

\mathscr{A}_2

$A_{2}$ 中的每个划分块 , 都含于

A

1

\mathscr{A}_1

$A_{1}$ 中的某个划分块中 , 则称

A

2

\mathscr{A}_2

$A_{2}$ 是

A

1

\mathscr{A}_1

$A_{1}$ 的加细 ;

- 4.加细关系列举 :

⪯

∪

{

}

\preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ <\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1> \}

$⪯_{1} = I_{π 1} \cup {< A_{2}, A_{1} >}$

⑤ 集合

π

2

\pi_2

$π_{2}$ 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中有 $I_{\pi 2} Iπ2 , < A 3 , A 3 > <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3> <A3,A3> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2>$
$< A_{2}, A_{2} >$ ;
2.其它加细关系 : $\mathscr{A}_2 A2 和 A 3 \mathscr{A}_3$
$A_{3}$ 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

- 4.加细关系列举 :

⪯

\preceq_2 = I_{\pi 2}

$⪯_{2} = I_{π 2}$

⑥ 集合

π

3

\pi_3

$π_{3}$ 上的加细关系分析 :

1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此加细关系中有 $I_{\pi 3} Iπ3 , < A 1 , A 1 > <\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1> <A1,A1> , < A 2 , A 2 > <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2> <A2,A2>, < A 3 , A 3 > <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3> <A3,A3>, < A 4 , A 4 > <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4> <A4,A4>, < A 5 , A 5 > <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5>$
$< A_{5}, A_{5} >$ ;
2.其它加细关系 :
- ① 与 $\mathscr{A}_5$
  $A_{5}$ 划分相关的加细 :
  
  A
  
  5
  
  \mathscr{A}_5
  
  $A_{5}$ 是划分最细的等价关系 ,
  
  A
  
  5
  
  \mathscr{A}_5
  
  $A_{5}$ 是其它所有划分的加细 , 因此有
  
  <
  
  A
  
  5
  
  ,
  
  A
  
  4
  
  >
  
  <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4>
  
  $< A_{5}, A_{4} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  5
  
  ,
  
  A
  
  3
  
  >
  
  <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3>
  
  $< A_{5}, A_{3} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  5
  
  ,
  
  A
  
  2
  
  >
  
  <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2>
  
  $< A_{5}, A_{2} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  5
  
  ,
  
  A
  
  1
  
  >
  
  <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1>
  
  $< A_{5}, A_{1} >$ ;
- ② 与 $\mathscr{A}_1$
  $A_{1}$ 划分相关的加细 :
  
  A
  
  1
  
  \mathscr{A}_1
  
  $A_{1}$ 是划分最粗的等价关系 , 所有的划分都是
  
  A
  
  1
  
  \mathscr{A}_1
  
  $A_{1}$ 的加细 , 因此有
  
  <
  
  A
  
  5
  
  ,
  
  A
  
  1
  
  >
  
  <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1>
  
  $< A_{5}, A_{1} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  4
  
  ,
  
  A
  
  1
  
  >
  
  <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1>
  
  $< A_{4}, A_{1} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  3
  
  ,
  
  A
  
  1
  
  >
  
  <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1>
  
  $< A_{3}, A_{1} >$ ,
  
  <
  
  A
  
  2
  
  ,
  
  A
  
  1
  
  >
  
  <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1>
  
  $< A_{2}, A_{1} >$ ;
4.加细关系列举 :

⪯

∪

{

}

\preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2> , <\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1> , <\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1>, <\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1>, <\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1> \}

$⪯_{3} = I_{π 3} \cup {< A_{5}, A_{4} >, < A_{5}, A_{3} >, < A_{5}, A_{2} >, < A_{5}, A_{1} >, < A_{4}, A_{1} >, < A_{3}, A_{1} >, < A_{2}, A_{1} >}$

【集合论】偏序关系 ( 偏序关系定义 | 偏序集定义 | 大于等于关系 | 小于等于关系 | 整除关系 | 包含关系 | 加细关系 )

文章目录

一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

( 2 ) 偏序关系与等价关系 ( 等价关系用于分类 | 偏序关系用于组织 )

2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

二. 偏序关系示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系说明

( 2 ) 小于等于关系分析

2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系说明

( 2 ) 大于等于关系分析

3. 整除关系

( 1 ) 整除关系说明

( 2 ) 整除关系分析

4. 包含关系

( 1 ) 包含关系说明

( 2 ) 包含关系分析

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系说明

( 2 ) 加细关系分析

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一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )

2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

二. 偏序关系 示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系 说明

( 2 ) 小于等于关系 分析

2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系 说明

( 2 ) 大于等于关系 分析

3. 整除关系

( 1 ) 整除关系 说明

( 2 ) 整除关系 分析

4. 包含关系

( 1 ) 包含关系 说明

( 2 ) 包含关系 分析

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系 说明

( 2 ) 加细关系 分析

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( 2 ) 偏序关系与等价关系 ( 等价关系用于分类 | 偏序关系用于组织 )

二. 偏序关系示例

( 1 ) 小于等于关系说明

( 2 ) 小于等于关系分析

( 1 ) 大于等于关系说明

( 2 ) 大于等于关系分析

( 1 ) 整除关系说明

( 2 ) 整除关系分析

( 1 ) 包含关系说明

( 2 ) 包含关系分析

( 1 ) 加细关系说明

( 2 ) 加细关系分析