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文章目录
-
- 1. 加法原则
-
- ( 1 ) 加法原则 ( 不能叠加 的事件才能用 加法原则 | 适用于 分类选取 )
- ( 2 ) 乘法法则 ( 相互独立 的 事件 才能用 乘法法则 | 适用于 分步选择 )
- 2. 习题解析
-
- ( 1 ) 习题 1 ( 加法原理 )
- ( 2 ) 习题 2 ( 加法原则 乘法原则 综合运用 )
- ( 3 ) 习题 3 ( 乘法原则 )
1. 加法原则
( 1 ) 加法原则 ( 不能叠加 的事件才能用 加法原则 | 适用于 分类选取 )
加法原则 :
- 1.加法法则描述 : 事件
A
A
A 有m
m
m 种 产生方式 , 事件B
B
B 有n
n
n 种 产生方式 , 则 " 事件A
A
A 或B
B
B " 有m
+
n
m + n
m+n 种产生方式 ; - 1.加法法则推广 : 设 事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}
A1,A2,...,An 分别有p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
p_{1} , p_{2} , ... , p_{n}
p1,p2,...,pn 种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 不重叠 , 则 " 事件A
1
A_{1}
A1 或A
2
A_{2}
A2 或 … 或A
n
A_{n}
An " 产生的方式 是p
1
+
p
2
+
.
.
.
+
p
n
p_{1} + p_{2} + ... + p_{n}
p1+p2+...+pn 种 ; - 2.注意点 : 这里的 事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}
A1,A2,...,An 必须是 不能重叠的 , 即 只有 一件 事件 发生 , 如果有多个 事件 同时发生 , 就必须 使用 乘法原则 ; - 3.适用问题 : 分类选取 ;
( 2 ) 乘法法则 ( 相互独立 的 事件 才能用 乘法法则 | 适用于 分步选择 )
乘法原则 :
- 1.乘法法则描述 : 事件 A 有 m 种 产生方式 , 事件 B 有 n 种 产生方式 , 则 " 事件 A 与 B " 有 mn 种产生方式 ;
- 1.乘法法则推广 : 设 事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}
A1,A2,...,An 分别有p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
n
p_{1} , p_{2} , ... , p_{n}
p1,p2,...,pn 种 产生方式 , 若 其中 任何 两个 事件 产生的方式 都 相互独立 , 则 " 事件A
1
A_{1}
A1 或A
2
A_{2}
A2 或 … 或A
n
A_{n}
An " 产生的方式 是p
1
p
2
.
.
.
p
n
p_{1} p_{2} ... p_{n}
p1p2...pn 种 ; - 2.注意点 : 这里的 事件
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
A
n
A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}
A1,A2,...,An 必须是 相互独立 的 ; - 3.适用问题 : 分步选取 ;
2. 习题解析
( 1 ) 习题 1 ( 加法原理 )
题目 :
汽车市场 有 卡车 15 辆 , 面包车 8 辆 , 轿车 20 辆 ;
从市场中只购买一辆车 , 有多少种购买方式 ?
解答 :
① 这里用到了 加法原则 , 如果只能 买 一辆车的话 , 三种车 只能买一种 , 三个事件 是不能重叠的 ;
② 买卡车 有 15 种方式 , 买面包车 有 8 种方式 , 买轿车 有 20 种 , 三种方式只能选择一种 , 三者不能重叠 ( 同时存在 ) , 因此使用加法原则 进行计算 ;
③ 结果是 : 15 + 8 + 20 = 43 ;
( 2 ) 习题 2 ( 加法原则 乘法原则 综合运用 )
设
A
,
B
,
C
A , B , C
A,B,C 是 3 个城市 ,
从
A
A
A 到
B
B
B 有 3 条路 , 从
B
B
B 到
C
C
C 有 2 条路 , 从
A
A
A 到
C
C
C 有
4
4
4 条路 ,
问 从
A
A
A 到
C
C
C 有多少种不同的方式 ?
解 :
加法原则 :
① 直接从
A
A
A 到
C
C
C 与 ② 从
A
A
A 先到
B
B
B 再到
C
C
C 是 不能重叠的 , 方案 ① 与 方案 ② 需要 用家法原则 ,
乘法原则 :
方案 ② 内部需要使用 乘法原则 即
A
A
A 到
B
B
B 有 3 种 选择 ,
B
B
B 到
C
C
C 有 2 种选择 , 这两个选择是相互独立的 , 需要分步 选择 ,
3
∗
2
=
6
3 * 2 = 6
3∗2=6 种 ;
最终
N
=
3
×
2
+
4
=
10
N = 3 \times 2 + 4 = 10
N=3×2+4=10 ;
( 3 ) 习题 3 ( 乘法原则 )
题目 :
从
1000
1000
1000 到
9999
9999
9999 的 整数 中 :
① 含有5的数有多少个 ;
② 含有多少个 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 ;
③ 各位数 都不相同 的 奇数 有多少个;
解答 :
( 1 ) 含有 5 的数 的个数 :
① 设 数字 集合
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
② 直接求 含有
5
5
5 的数 , 比较麻烦 : 这里可以分成
1
1
1 位 含有
5
5
5 的数 , 此时又分成 个位 十位 百位 千位 四种情况 ,
2
2
2 位 或
3
3
3 位 含有
5
5
5 更加复杂 ;
③ 这里 可以 转换一下思路 , 求 不含 5 的个数 :
- 1> 千位 : 千位数 不能 取
0
0
0 和5
5
5 , 只能取值8
8
8 种情况 ; - 2> 百位 : 百位数 不能 取
5
5
5 , 有9
9
9 种 取值情况 ; - 3> 十位 : 百位数 不能 取
5
5
5 , 有9
9
9 种 取值情况 ; - 4> 个位 : 百位数 不能 取
5
5
5 , 有9
9
9 种 取值情况 ;
根据乘法原则 : 不含
5
5
5 的个数位为
8
×
9
×
9
×
9
=
5832
8 \times 9\times 9\times 9 = 5832
8×9×9×9=5832
含有 5 的个数为 :
9000
−
5832
=
3168
9000 - 5832 = 3168
9000−5832=3168 ;
( 2 ) 百位 和 十位数 均为 奇数 的 偶数 :
分析 四位 数 取值方案数 :
- 1> 个位数取值方案数 : 考虑偶数的情况 : 如果为 偶数 , 那么 个位数 只能取值
{
0
,
2
,
4
,
6
,
8
}
\{0, 2, 4 , 6, 8\}
{0,2,4,6,8} 这5
5
5 种情况 ; - 2> 十位数 和 百位数 取值 方案数 : 十位数 百位数 都是 奇数 , 那么 其 取值
{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
}
\{1 , 3 , 5 , 7 , 9 \}
{1,3,5,7,9} , 也是5
5
5 种方案 ; - 3> 千位数 取值 方案数 :
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 有9
9
9 种方案 ;
根据 乘法 原则 : 百位 和 十位 均为 奇数 的 偶数 有
9
×
5
×
5
×
5
=
1125
9 \times 5 \times 5 \times 5 = 1125
9×5×5×5=1125 个 ;
( 3 ) 各位数 都不相同 的 奇数 个数 :
逐位分析 :
- 1> 分析 个位数 取值 : 个位数 如果不做限制的话 , 有
10
10
10 种方案数{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 要求 是 奇数 , 因此 个位数 只有5
5
5 中方案 , 只能从{
1
,
3
,
5
,
7
,
9
}
\{1,3,5,7,9\}
{1,3,5,7,9} 中取值 ; - 2> 分析 千位 的取值 : 千位数 不做限制的话 有
9
9
9 种方案{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9\}
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 如果要求 与 个位数不同 , 那么有8
8
8 种方案 ; - 3> 分析 百位 数取值 : 百位数 如果不做限制的话 , 有
10
10
10 种方案数{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 千位 与 个位 各自 取了 一位数 , 那么只能下8
8
8 种 方案数 ; - 4> 分析 十位 数取值 : 十位数 如果不做限制的话 , 有
10
10
10 种方案数{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , 千位 , 个位 与 百位 各自 取了 一位数 , 那么只能下7
7
7 种 方案数 ;
根据乘法原则 :
1000
1000
1000 到
9999
9999
9999 的整数中 , 各个位数 都 不相同的 奇数 有
5
×
8
×
7
×
7
=
2240
5 \times 8 \times 7 \times 7 = 2240
5×8×7×7=2240 个 ;
每一位分析的先后顺序很有讲究 , 一般先分析 条件限制比较苛刻的 选择 , 在分析 比较宽松的选择 ;
关于一一对应 的说明 :
如果 性质A
A
A 的 计数 比较困难 , 性质
B
B
B 的计数比较容易 , 性质
A
A
A 和 性质
B
B
B 存在一一对应 , 那么对性质
A
A
A 的计数 , 可以转化为 对 性质
B
B
B 的计数 ;
这里用到了 一一对应 , 如 上述 , 计数 含有5
5
5 的整数个数 , 如果正面计数比较困难 , 可以反过来 计算 不含有
5
5
5 的整数个数 , 这样就比较好计数了 ,
1000
1000
1000 到
9999
9999
9999 一共有
9000
9000
9000 个数 ,
9000
−
不
含
5
的
整
数
个
数
9000 - 不含5的整数个数
9000−不含5的整数个数 与 含有
5
5
5 的整数个数 是一一对应的 ;
常用的一一对应 :
① 选取问题
② 不定方程非负整数解问题
③ 非降路径问题
④ 正整数拆分问题
⑤ 放球问题
