一. 谓词逻辑相关概念

1. 个体词

个体 简介 :

• 1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
• 2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
• 3.个体 变元 : 使用

  a

  ,

  b

  ,

  c

  a,b,c

  a,b,c 表示个体变元 ;

• 4.个体 常元 : 使用

  x

  ,

  y

  ,

  z

  x, y, z

  x,y,z 表示个体常元 ;

• 5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
• 6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
• 7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;

命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;

---

2. 谓词

谓词 简介 :

• 1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
• 2.谓词表示 : 使用

  F

  ,

  G

  ,

  H

  F, G, H

  F,G,H 表示谓词 常元 或 变元 ;

• 3.个体性质谓词表示 : $F(x)$
• 4.关系性质谓词表示示例 : $F(x,y)$

---

3. 量词

( 1 ) 全称量词

全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

• 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
• 2.表示方式 : 使用符号

  ∀

  \forall

  ∀ 表示 ;

• 3.解读1 : $\forall x$

  x ;

• 4.解读2 : $\forall x(F(x))$

  F ;

---

( 2 ) 存在量词

存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

• 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
• 2.表示方式 : 使用符号

  ∃

  \exist

  ∃ 表示 ;

• 3.解读1 : $\exists x$

  x ;

• 4.解读2 : $\exists x(F(x))$

  F ;

---

二. 命题符号化 技巧

1. 两个基本公式 ( 重要 )

( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G

个体域中 所有 有性质

F

F

F 的 个体 , 都 具有 性质

G

G

G ;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F

(

x

)

F(x)

F(x) :

x

x

x 具有性质

F

F

F ;
②

G

(

x

)

G(x)

G(x) :

x

x

x 具有性质

G

G

G ;
③ 命题符号化为 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )

∀x(F(x)→G(x))

---

( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体

个体域 中 存在有性质

F

F

F 同时有性质

G

G

G 的个体 ;

使用谓词逻辑如下表示 :

①

F

(

x

)

F(x)

F(x) :

x

x

x 具有性质

F

F

F ;
②

G

(

x

)

G(x)

G(x) :

x

x

x 具有性质

G

G

G ;
③ 命题符号化为 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land G(x) )

∃x(F(x)∧G(x))

---

2. 命题符号化技巧

( 1 ) 命题符号化方法

命题符号化方法 :

• 1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明

  ∀

  x

  \forall x

  ∀x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;

• 2.写出性质个关系 谓词 : 使用

  F

  ,

  G

  ,

  H

  F , G , H

  F,G,H 表明 个体的 性质 或 关系 ;

• 3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;

---

( 2 ) 解题技巧

由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑

F

(

x

)

F(x)

F(x) 或

G

(

x

,

y

)

G(x, y)

G(x,y) 部件 再次进行组合 ;

如下 谓词逻辑 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

∀

y

(

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

)

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))

其中

∀

y

(

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )

∀y(G(y)→H(x,y)) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件

A

A

A , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

A

)

\forall x (F(x) \rightarrow A)

∀x(F(x)→A)

因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

∀

x

(

F

(

x

)

→

∀

y

(

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

)

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))

---

( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :

当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;

2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的

x

x

x 与 存在的一个

y

y

y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的

x

x

x 和 所有的

z

z

z 存在某种性质或关系 ;
③

y

y

y 与

z

z

z 具有相等的属性 ;

3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的

x

x

x 与 存在的一个

y

y

y 有 某种性质或关系 ,
②

y

y

y 与 所有的

z

z

z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出

x

x

x 和

z

z

z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

---

3. 谓词公式定义

谓词公式定义 :

• 1.原始谓词公式 :

  n

  n

  n 元 谓词 是一个 谓词公式 ;

• 2.否定式 : 如果 $A$

  (¬A) 也是谓词公式 ;

• 3.两个谓词公式 组合 : 如果

  A

  ,

  B

  A, B

  A,B 是谓词公式 , 那么

  (

  A

  ∧

  B

  )

  ,

  (

  A

  ∨

  B

  )

  ,

  (

  A

  →

  B

  )

  ,

  (

  A

  ↔

  B

  )

  (A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B)

  (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;

• 4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 $A$

  x , 且

  x

  x

  x 没有被量词限制 , 那么

  ∀

  x

  A

  (

  x

  )

  \forall x A(x)

  ∀xA(x) , 或

  ∃

  x

  A

  (

  x

  )

  \exist x A(x)

  ∃xA(x) 也是谓词公式 ;

• 5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;

谓词公式拼装 :
1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式

S

S

S ;
2> 在 原始谓词公式

S

S

S 前 加上

¬

\lnot

¬ 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

S

S 使用 )
3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式

S

S

S 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

S

S 使用 )
4> 在 原始谓词公式

S

S

S 前 加上 量词约束

∀

x

A

(

x

)

\forall x A(x)

∀xA(x) , 或

∃

x

A

(

x

)

\exist x A(x)

∃xA(x) , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式

S

S

S 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )

4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;

---

三. 命题符号化 习题

1. 简单量词 示例

( 1 ) 全称量词示例

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 人都吃饭 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是人 ;

• 2> $G(x)$

  x 吃饭 ;

③ 命题符号化 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

\forall x (F(x) \rightarrow G(x))

∀x(F(x)→G(x))

---

( 2 ) 全称量词 示例 2

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是某班级的学生 ;

• 2> $G(x)$

  x 学过微积分 ;

③ 命题符号化 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

\forall x (F(x) \rightarrow G(x))

∀x(F(x)→G(x))

---

( 3 ) 存在 量词 示例

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;

解答 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是人 ;

• 2> $G(x)$

  x 喜欢吃糖 ;

③ 命题符号化 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

)

\exist x (F(x) \land G(x))

∃x(F(x)∧G(x))

另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :

① 个体域 : 全总个体域

② 谓词 : 性质/关系 定义 :

• $F(x)$
• $G(y)$
• $H(x,y)$

③ 命题符号化 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

∧

H

(

x

,

y

)

)

\exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))

∃x(F(x)∧G(x)∧H(x,y))

---

2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;

1> 方式 一 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是男人 ;

• 2> $G(y)$

  y 是女人 ;

• 3> $H(x,y)$

  y 跑得快 ;

③ 命题符号化 :

∀

x

(

F

(

x

)

→

∀

y

(

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

)

\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))

该命题符号有等价形式 :

∀

x

∀

y

(

F

(

x

)

∧

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

)

\forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) ))

∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)))

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;

符号化分析 :
① 将

∀

y

(

G

(

y

)

→

H

(

x

,

y

)

)

\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) )

∀y(G(y)→H(x,y)) 独立分析 , 首先 整个 命题都处于

∀

x

\forall x

∀x 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题

A

A

A ;
② 下面分析

∀

x

(

F

(

x

)

→

A

)

∀x(F(x)→ A)

∀x(F(x)→A) , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题

A

A

A 的性质 ;

2> 方式 二 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是男人 ;

• 2> $G(x)$

  x 是女人 ;

• 3> $H(x,y)$

  y 跑得快 ;

③ 命题符号化 :

∀

x

∀

y

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

→

H

(

x

,

y

)

)

\forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y))

∀x∀y(F(x)∧G(x)→H(x,y))

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;

符号化分析 :
将

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

F(x) \land G(x)

F(x)∧G(x) 看做一个整体

A

A

A , 即

x

x

x 是男人 ,

y

y

y 是女人 , 针对所有的

x

,

y

x, y

x,y 有性质

A

A

A , 那么

x

,

y

x, y

x,y 同时又有性质 或 关系

H

(

x

,

y

)

H(x,y)

H(x,y) ;

---

3. 带 或者 的 命题符号化

( 1 ) 带 或者 的 命题符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;

解答 :

① 个体域 : 某班级的所有学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 有一台电脑 ;

• 2> $G(x,y)$

  y 是朋友 ;

③ 命题符号 :

∀

x

(

F

(

x

)

∨

∃

y

(

F

(

y

)

∧

G

(

x

,

y

)

)

)

\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )

∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y)))

解析 :
1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;

2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词

∀

x

(

A

(

x

)

)

\forall x (A(x))

∀x(A(x)) , 下面开始分析其中的

A

(

x

)

A(x)

A(x) ;

3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用

∨

\lor

∨ 进行连接 , 分别是

B

(

x

)

B(x)

B(x) ( “有一台电脑” ) 和

C

(

x

)

C(x)

C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 :

∀

x

(

B

(

x

)

∧

C

(

x

)

)

\forall x (B(x) \land C(x))

∀x(B(x)∧C(x)) ;

4> “有一台电脑” : 表示成

F

(

x

)

F(x)

F(x) ; 当前符号 :

∀

x

(

F

(

x

)

∧

C

(

x

)

)

\forall x (F(x) \land C(x))

∀x(F(x)∧C(x)) ;

5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生

y

y

y , 这个

y

y

y 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词

∃

y

\exist y

∃y ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的

y

y

y 的要求是 ,

y

y

y 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b.

x

,

y

x,y

x,y 是朋友” , 因此使用

∧

\land

∧ 将其连接起来 , 最终表示成

F

(

y

)

∧

G

(

x

,

y

)

F(y) \land G(x , y)

F(y)∧G(x,y) ;
④ 本句的符号为 :

∃

y

(

F

(

y

)

∧

G

(

x

,

y

)

)

\exist y ( F(y) \land G(x , y) )

∃y(F(y)∧G(x,y)) ;

6> 最终符号为 :

∀

x

(

F

(

x

)

∨

∃

y

(

F

(

y

)

∧

G

(

x

,

y

)

)

)

\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )

∀x(F(x)∨∃y(F(y)∧G(x,y))) ;

---

( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2

命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 去过北京;

• 2> $G(x)$

  x 去过上海;

③ 命题符号 :

∀

x

(

F

(

x

)

∨

G

(

x

)

)

\forall x ( F(x) \lor G(x))

∀x(F(x)∨G(x))

解析 :

1> 个体域 量词 分析 :

∀

x

\forall x

∀x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;

2>

F

(

x

)

∨

G

(

x

)

F(x) \lor G(x)

F(x)∨G(x) 解读 : 表示

x

x

x 去过 北京 或者 去过 上海 ;

3>

∀

x

(

F

(

x

)

∨

G

(

x

)

)

\forall x ( F(x) \lor G(x))

∀x(F(x)∨G(x)) 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;

---

4. 复杂命题 示例

( 1 ) 复杂命题的符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 存在一个学生 $x$

  z 不是好朋友;

题目分析 :

• 1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;
• 2.性质和关系分析 :
  • ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;
  • ② "$x$

    y 是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;

• 3.主题框架分析 :
  • ① 量词约束 : " 存在一个学生 $x$

    z 来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 ,

    ∃

    x

    ∀

    y

    ∀

    z

    \exist x \forall y \forall z

    ∃x∀y∀z , 然后在对

    x

    ,

    y

    ,

    z

    x, y , z

    x,y,z 之间的关系进行描述 ;

  • ② "如果 $x$

    z 不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;

    • a> 命题

      A

      A

      A : "如果

      x

      x

      x 与

      y

      y

      y 是好朋友 , 并且

      x

      x

      x 和

      z

      z

      z 也是好朋友" ,

    • b> 命题

      B

      B

      B : "那么

      y

      y

      y 和

      z

      z

      z 不是好朋友" ;

    • c> 命题

      A

      ,

      B

      A,B

      A,B 的关系 :

      A

      →

      B

      A \rightarrow B

      A→B ;

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x,y)$

  y 是好朋友;

• 2> $G(x,y)$

  y 是相同的 ;

③ 命题符号 :

∃

x

∀

y

∀

z

(

(

¬

G

(

y

,

z

)

∧

F

(

x

,

y

)

∧

F

(

x

,

z

)

)

→

¬

F

(

y

,

z

)

)

\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )

∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z))

解析 :

1> 量词分析 :

∃

x

∀

y

∀

z

\exist x \forall y \forall z

∃x∀y∀z 对应了 题目中的 "存在一个学生

x

x

x, 对所有不同的两个学生

y

y

y 和

z

z

z 来说"

2>

(

¬

G

(

y

,

z

)

∧

F

(

x

,

y

)

∧

F

(

x

,

z

)

)

( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) )

(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z)) 分析 : 该句对应了 “不同的两个学生

y

y

y 和

z

z

z 来说 , 如果

x

x

x 与

y

y

y 是好朋友 , 并且

x

x

x 和

z

z

z 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;

3>

¬

F

(

y

,

z

)

\lnot F(y, z)

¬F(y,z) 分析 : 对应了结果 “那么

y

y

y 和

z

z

z 不是好朋友” ;

4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 :

(

¬

G

(

y

,

z

)

∧

F

(

x

,

y

)

∧

F

(

x

,

z

)

)

→

¬

F

(

y

,

z

)

( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z)

(¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z) ;

5> 加上量词约束 得到最终结果 :

∃

x

∀

y

∀

z

(

(

¬

G

(

y

,

z

)

∧

F

(

x

,

y

)

∧

F

(

x

,

z

)

)

→

¬

F

(

y

,

z

)

)

\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )

∃x∀y∀z((¬G(y,z)∧F(x,y)∧F(x,z))→¬F(y,z)) ;

---

( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京

解答 :

( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 去过北京;

③ 命题符号 :

∃

x

(

F

(

x

)

)

\exist x ( F(x) )

∃x(F(x))

解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词

∃

x

\exist x

∃x 表示 ,

∃

x

(

F

(

x

)

)

\exist x( F(x) )

∃x(F(x)) 表示 有些学生去过 北京 ;

( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全总个体域

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 去过北京;

• 2> $G(x)$

  x 是某班级的学生;

③ 命题符号 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land G(x))

∃x(F(x)∧G(x))

解析 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land G(x))

∃x(F(x)∧G(x))

1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么

∃

x

\exist x

∃x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;

2>

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

F(x) \land G(x)

F(x)∧G(x) : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

3> 完整解读 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land G(x))

∃x(F(x)∧G(x)) , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

---

( 3 ) 当且仅当 转化问题

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 所有的人

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x,y)$

  x,y 是好朋友;

• 2> $G(x,y)$

  x,y 相等;

③ 命题符号 一 :

∀

x

∃

y

∀

z

(

(

F

(

x

,

y

)

∧

¬

G

(

y

,

z

)

)

→

¬

F

(

x

,

z

)

)

\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) )

∀x∃y∀z((F(x,y)∧¬G(y,z))→¬F(x,z))

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处

x

,

y

x ,y

x,y 已经是好朋友了 , 如果出现一个

z

z

z 与

y

y

y 不相等 , 那么

x

,

z

x,z

x,z 一定不是好朋友 ;
量词分析 :
对于所有的

x

x

x , 存在一个

y

y

y 是他的朋友 , 所有的

z

z

z 与

x

x

x 是好朋友 , 那么 这个

z

z

z 就是

y

y

y ;

④ 命题符号二 :

∀

x

∃

y

∀

z

(

(

F

(

x

,

y

)

∧

F

(

x

,

z

)

)

→

G

(

y

,

z

)

)

\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) )

∀x∃y∀z((F(x,y)∧F(x,z))→G(y,z))

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果

x

,

y

x,y

x,y 是好朋友 ,

x

,

z

x,z

x,z 是好朋友 , 那么

y

,

z

y,z

y,z 肯定相等 ;
量词分析 :
对于所有的

x

x

x , 存在一个

y

y

y 是他的朋友 , 所有的

z

z

z 与

x

x

x 是好朋友 , 那么 这个

z

z

z 就是

y

y

y ;

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :

当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;

2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的

x

x

x 与 存在的一个

y

y

y 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的

x

x

x 和 所有的

z

z

z 存在某种性质或关系 ;
③

y

y

y 与

z

z

z 具有相等的属性 ;

3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的

x

x

x 与 存在的一个

y

y

y 有 某种性质或关系 ,
②

y

y

y 与 所有的

z

z

z 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出

x

x

x 和

z

z

z 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

---

( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫

解答 :

命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是 动物;

• 2> $G(x)$

  x 是 猫;

③ 命题符号 一 :

¬

(

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

)

\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

¬(∀x(F(x)→G(x)))

解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
1> 提取否定 : 把并非提取出来 为

¬

\lnot

¬ , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;
2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )

∀x(F(x)→G(x)) ;
3> 最终结果 :

¬

(

∀

x

(

F

(

x

)

→

G

(

x

)

)

)

\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

¬(∀x(F(x)→G(x))) ;

命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;

转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$

  x 是 动物;

• 2> $G(x)$

  x 是 猫;

③ 命题符号 一 :

∃

x

(

F

(

x

)

∧

¬

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

∃x(F(x)∧¬G(x))

∃

x

(

F

(

x

)

∧

¬

G

(

x

)

)

\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

∃x(F(x)∧¬G(x)) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;

---