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文章目录
-
-
-
- 群的定义
- 群的分类
- 群的证明方法
- 交换群的证明方法
- 数集回顾
- 群的证明
-
-
群的定义
群 的 定义 : 一个 非空 集合
G
G
G 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合
G
G
G 称为 群 ;
- 1. 封闭性 :
- 1> 符号表示 :
∀
a
,
b
∈
G
,
a
×
b
=
c
∈
G
\forall a,b \in G , a \times b = c \in G
∀a,b∈G,a×b=c∈G - 2> 自然语言描述 : 非空集合
G
G
G 中任意两个元素a
,
b
a,b
a,b 相乘, 其结果c
c
c 也是 集合G
G
G 中的元素 ;
- 1> 符号表示 :
- 2. 结合律 :
- 符号表示 :
∀
a
,
b
,
c
∈
G
,
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
\forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c
∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ;
- 符号表示 :
- 3. 有单位元 :
- 1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
e
×
a
=
a
×
e
=
a
\exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a
∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a - 2> 自然语言描述 : 存在一个
e
e
e , 乘以a
a
a , 或者 与a
a
a 相乘 , 其结果都是a
a
a , 相当于1
1
1 ;
- 1> 符号表示 :
- 4. 每个元
a
a
a 有逆元a
−
1
a^{-1}
a−1 :- 1> 符号表示 :
∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
∃
a
−
1
∈
G
,
a
−
1
×
a
=
a
×
a
−
1
=
e
\exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e
∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e , - 2> 自然语言描述 :
e
e
e 是之前的 单位元 ( 类似于1
1
1 ) ,a
a
a 与a
a
a 的逆 相乘 , 结果是单位元e
e
e ;
- 1> 符号表示 :
注意 :
这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;
G
×
G
G \times G
G×G 构成代数结构可以表示成
(
G
,
⋅
)
( G , \cdot )
(G,⋅)
群的分类
群 的 分类 :
- 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
- 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
- 3.群 的 阶 : 群
G
G
G 含有的元素个数叫群的阶 , 记做∣
G
∣
|G|
∣G∣ ; - 4.有限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ; - 5.无限群 :
∣
G
∣
|G|
∣G∣ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;
群的证明方法
群的证明方法 : 给定一个 集合
G
G
G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;
- 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
- 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
- 3.证明结合律 : 集合中
a
a
a 与b
b
b 和c
c
c 进行二元运算 , 其结果 与a
a
a 和b
b
b 与c
c
c 进行运算结果相同 ; - 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e
e
e 元素 ,a
a
a 与e
e
e 和e
e
e 与a
a
a 运算 结果都是a
a
a ; 相当于乘法中的1
1
1 或 加法中的0
0
0 ; - 5.证明其逆元 :
a
a
a 与a
−
1
a^{-1}
a−1 或者a
−
1
a^{-1}
a−1 与a
a
a 进行运算 , 其结果是e
e
e 单位元 ;
满足以上
4
4
4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;
交换群的证明方法
在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;
数集回顾
数集 及 表示方法 :
- 1.整数 :
Z
Z
Z , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ; - 2.正整数 :
Z
+
,
N
∗
,
N
+
Z^+,N^*,N^+
Z+,N∗,N+ , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ; - 3.负整数 :
Z
−
Z^-
Z− , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ; - 4.非负整数 :
N
N
N , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ; - 5.有理数 :
Q
Q
Q , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ; - 6.实数集 :
R
R
R , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ; - 7.虚数 :
I
I
I , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ; - 8.复数 :
C
C
C , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;
有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ;
实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ;
虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;
数集中的常用上标 用法 :
- 1.正数 :
+
^+
+ 表示该数集中元素全为 正数 ; - 2.负数 :
−
^-
− 表示该数集中的元素全为 负数 ; - 3.剔除
0
0
0 元素 :∗
^*
∗ 表示剔除该数集上的元素0
0
0 ;
R
∗
R^*
R∗ 表示剔除 实数集
R
R
R 中的 元素
0
0
0 ,
R
∗
=
R
∖
{
0
}
=
R
−
∪
R
+
=
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
+
∞
)
R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty)
R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)
群的证明
题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;
证明方法 : 给定一个 集合
G
G
G 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;
- 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
- 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
- 3.证明结合律 : 集合中
a
a
a 与b
b
b 和c
c
c 进行二元运算 , 其结果 与a
a
a 和b
b
b 与c
c
c 进行运算结果相同 ; - 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个
e
e
e 元素 ,a
a
a 与e
e
e 和e
e
e 与a
a
a 运算 结果都是a
a
a ; 相当于乘法中的1
1
1 或 加法中的0
0
0 ; - 5.证明其逆元 :
a
a
a 与a
−
1
a^{-1}
a−1 或者a
−
1
a^{-1}
a−1 与a
a
a 进行运算 , 其结果是e
e
e 单位元 ;
满足以上
4
4
4 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;
证明 :
① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ;
② 结合律 :
3
3
3 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ;
③ 证明单位元 : 存在
e
=
1
e=1
e=1 , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ;
④ 证明逆
a
−
1
a^{-1}
a−1 的存在 : 集合中的任意元素
a
a
a , 其
a
−
1
=
1
a
a^{-1} = \frac{1}{a}
a−1=a1 ,
a
−
1
×
a
=
a
×
a
−
1
=
e
=
1
a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e = 1
a−1×a=a×a−1=e=1 , 其逆元成立 ;
因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;
