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文章目录
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-
-
- 牛顿二项式公式
- 牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式
- 推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况
- 推导 C(-n,k) 的公式
- 推广牛顿二项式
- 题目解析1
- 题目解析2
-
-
牛顿二项式公式
(
1
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}x^k
(1+x)n=k=0∑n(kn)xk
牛顿二项式公式 使用 ax 替换 x 后的公式
公式推导 : 使用
a
x
ax
ax 替换
x
x
x , 然后将公式展开即可 :
(
1
+
a
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
a
x
)
k
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
x
k
\begin{array}{lcl}\\ (1 + ax)^n &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k}(ax)^k \\ \\ \\ &=& \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k x^k \\ \\ \end{array}
(1+ax)n==∑k=0n(kn)(ax)k∑k=0n(kn)akxk
推广牛顿二项式公式 二项式幂是负数的情况
将二项式的 幂
−
n
-n
−n 代入到 牛顿二项式 中 :
(
1
+
x
)
−
n
=
∑
k
=
0
n
(
−
n
k
)
x
k
(1 + x)^{-n} = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{-n}{k}x^k
(1+x)−n=k=0∑n(k−n)xk
( 这里一定要注意 ,
n
n
n 是正数 ,
−
n
-n
−n 是负数 , 累加的时候 ,
k
k
k 从
0
0
0 到
n
n
n 进行累加 )
(
(
−
n
k
)
\dbinom{-n}{k}
(k−n) 此时没有组合数意义 , 只是单纯的计算 )
推导 C(-n,k) 的公式
下面推导 该二项式系数
(
−
n
k
)
\dbinom{-n}{k}
(k−n) 值 :
① 将
C
(
n
,
k
)
C(n, k)
C(n,k) 展开 :
C
(
n
,
k
)
=
(
n
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
(
n
−
k
)
(
n
−
k
−
1
)
⋯
k
!
(
n
−
k
)
(
n
−
k
−
1
)
⋯
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
k
!
\begin{array}{lcl}C(n,k) =\dbinom{n}{k} &=& \cfrac{n!}{(n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) (n-k) (n-k-1) \cdots}{k! (n-k) (n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots ( n-k+1) }{k! } \end{array}
C(n,k)=(kn)===(n−k)!k!n!k!(n−k)(n−k−1)⋯n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−k+1)(n−k)(n−k−1)⋯k!n(n−1)(n−2)(n−3)⋯(n−k+1)
② 将
C
(
−
n
,
k
)
C(-n, k)
C(−n,k) 对应展开 : 将
−
n
-n
−n 代替
n
n
n 带入 :
C
(
−
n
,
k
)
=
(
−
n
k
)
=
(
−
n
)
!
(
−
n
−
k
)
!
k
!
=
−
n
(
−
n
−
1
)
(
−
n
−
2
)
(
−
n
−
3
)
⋯
(
−
n
−
k
+
1
)
(
−
n
−
k
)
(
−
n
−
k
−
1
)
⋯
k
!
(
−
n
−
k
)
(
−
n
−
k
−
1
)
⋯
=
−
n
(
−
n
−
1
)
(
−
n
−
2
)
(
−
n
−
3
)
⋯
(
−
n
−
k
+
1
)
k
!
=
(
−
1
)
(
n
)
(
−
1
)
(
n
+
1
)
(
−
1
)
(
n
+
2
)
(
−
1
)
(
n
+
3
)
⋯
(
−
1
)
(
n
+
k
−
1
)
k
!
[
1
]
=
(
−
1
)
k
(
n
)
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
k
!
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
)
⋯
(
n
+
3
)
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
(
n
)
k
!
=
(
−
1
)
n
(
n
+
k
−
1
k
)
\begin{array}{lcl}C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} &=& \cfrac{(-n)!}{(-n-k)! k!}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots ( -n-k+1) (-n-k) (-n-k-1) \cdots}{k! (-n-k) (-n-k -1) \cdots}\\ \\ \\ &=& \cfrac{-n(-n-1)(-n-2)(-n-3) \cdots (-n-k+1) }{k! }\\ \\ \\ &=&\cfrac{ (-1 ) ( n) (-1) (n+1) (-1) (n+2) (-1)(n+3) \cdots (-1)(n+k-1) }{k!} \qquad[1]\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{( n) (n+1) (n+2) (n+3) \cdots (n+k-1) }{k!}\\ \\ \\ &=& (-1)^k \cfrac{(n+k-1) \cdots(n+3) (n+2) (n+1) ( n) }{k!} \\ \\ \\ &=& (-1)^n \dbinom{n+k-1}{k} \end{array}
C(−n,k)=(k−n)=======(−n−k)!k!(−n)!k!(−n−k)(−n−k−1)⋯−n(−n−1)(−n−2)(−n−3)⋯(−n−k+1)(−n−k)(−n−k−1)⋯k!−n(−n−1)(−n−2)(−n−3)⋯(−n−k+1)k!(−1)(n)(−1)(n+1)(−1)(n+2)(−1)(n+3)⋯(−1)(n+k−1)[1](−1)kk!(n)(n+1)(n+2)(n+3)⋯(n+k−1)(−1)kk!(n+k−1)⋯(n+3)(n+2)(n+1)(n)(−1)n(kn+k−1)
( [1] 此时分子上有
k
k
k 个
−
1
-1
−1 相乘 , 提取出来后为
(
−
1
)
k
(-1)^k
(−1)k )
推导结果是 :
C
(
−
n
,
k
)
=
(
−
n
k
)
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}
C(−n,k)=(k−n)=(−1)k(kn+k−1)
−
n
-n
−n 中取
k
k
k , 结果是
(
−
1
)
n
(-1)^n
(−1)n 乘以
n
+
k
−
1
n+k-1
n+k−1 中取
k
k
k ;
推广牛顿二项式
二项式的 幂 为
−
n
-n
−n :
(
1
+
x
)
−
n
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
k
)
x
k
(1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{-n}{k}x^k
(1+x)−n=k=0∑∞(k−n)xk
将之前推导出的
C
(
−
n
,
k
)
=
(
−
n
k
)
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
C(-n,k) =\dbinom{-n}{k} = (-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}
C(−n,k)=(k−n)=(−1)k(kn+k−1) 带入到上述公式中 :
(
1
+
x
)
−
n
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
x
k
(1+x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} x^k
(1+x)−n=k=0∑∞(−1)k(kn+k−1)xk
使用
−
x
-x
−x 换元后变型 :
(
1
−
x
)
−
n
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
(
−
1
)
k
x
k
=
∑
k
=
0
∞
(
n
+
k
−
1
k
)
x
k
\begin{array}{lcl}(1-x)^{-n} &=& \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \dbinom{n+k-1}{k} (-1)^kx^k\\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n+k-1}{k} x^k \end{array}
(1−x)−n==∑k=0∞(−1)k(kn+k−1)(−1)kxk∑k=0∞(kn+k−1)xk
题目解析1
题目 : 在
(
1
+
2
x
)
n
(1+2x)^n
(1+2x)n 展开式中 ,
x
k
x^k
xk 系数是多少 ;
解 :
根据牛顿二项式展开式子 :
(
1
+
2
x
)
n
=
∑
k
=
0
∞
(
n
k
)
(
2
x
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
n
k
)
2
k
x
k
\begin{array}{lcl}(1+2x)^n &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}(2x)^k\\ \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{n}{k}2^k x^k \end{array}
(1+2x)n==∑k=0∞(kn)(2x)k∑k=0∞(kn)2kxk
结论 :
x
k
x^k
xk 之前的系数是
2
k
(
n
k
)
2^k\dbinom{n}{k}
2k(kn)
题目解析2
题目 : 如果
(
1
−
3
x
)
−
5
=
∑
k
=
0
∞
a
k
x
k
(1-3x)^{-5} = \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k
(1−3x)−5=∑k=0∞akxk , 求
a
k
a_k
ak ;
解 :
① 使用 推广的牛顿二项式 展开 二项式 :
(
1
−
3
x
)
−
5
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
5
+
k
−
1
k
)
(
−
3
x
)
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
5
+
k
−
1
k
)
(
−
3
)
k
x
k
=
∑
k
=
0
∞
3
k
(
4
+
k
k
)
x
k
\begin{array}{lcl}\\ (1-3x)^{-5} &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5 + k - 1}{k} (-3x) ^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \dbinom{5+k-1}{k} (-3)^k x^k \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} 3^k \dbinom{4+k}{k} x^k \end{array}
(1−3x)−5===∑k=0∞(−1)k(k5+k−1)(−3x)k∑k=0∞(−1)k(k5+k−1)(−3)kxk∑k=0∞3k(k4+k)xk
② 结果为 :
a
k
=
3
k
(
4
+
k
k
)
=
3
k
(
4
+
k
)
!
4
!
k
!
a_k = 3^k \dbinom{4+k}{k} = 3^k \cfrac{(4+k)!}{4! k!}
ak=3k(k4+k)=3k4!k!(4+k)!
