文章目录

一、集合排列和多重集排列问题 1
二、集合排列和多重集排列问题 2
三、找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )
四、圆排列问题 1
五、集合交替排列问题
六、圆排列问题 2
七、推广的牛顿二项式公式
八、二项式展开问题

一、集合排列和多重集排列问题 1

题目 :

1.条件 : 由字母
$a, b, c, d, e, f$ 组成 4 个字母的单词 ;
2.问题 1 : 每个字母在单词中最多出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;

问题 1 解答 :

① 每个字母最多出现一次 , 那么该问题就是集合的排列问题 , 即

P

(

6

,

4

)

P(6,4)

$P (6, 4)$ ;
② 计算步骤 :

(

)

(

−

)

360

P(6,4) = \frac{6!}{(6-4)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360

$P (6, 4) = \frac{6 !}{( 6 - 4 ) !} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

解析 :
问题限定 :
1>集合排列 : 每个字母最多出现 1 次 , 这是将问题限定在了集合的排列问题上 ;
2>多重集排列 : 如果每个字母最多出现

n

n

$n$ 次 (

n

>

1

n > 1

$n > 1$ ) , 那么就是多重集的排列 ;

利用乘法计数原则 , 从左到右依次计算 , 第

1

1

$1$ 位有

6

6

$6$ 种方案 , 每个单词只能出现

1

1

$1$ 次 , 因此第

2

2

$2$ 位有

5

5

$5$ 种方案 , 第

3

3

$3$ 位有

4

4

$4$ 种方案 , 第

4

4

$4$ 位有

3

3

$3$ 种方案 ; 相乘后结果

6

×

5

×

4

×

3

=

360

6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360

$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ ;

问题 2 解答 :

① 如果允许重复 , 这就变成了多重集的排列问题 ;
② 单词每一位都有 6 种方案 , 结果为

6

4

=

1296

6^4 = 1296

$6^{4} = 1296$ 种方案数 ;

二、集合排列和多重集排列问题 2

题目 :

1.条件 : 由字母
$a, b, c, d, e, f$ 组成 4 个字母的单词 ;
2.问题 1 : 每个字母在单词中最多出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;

问题 1 解答 :

① 每个单词出现一次 , 该问题本质上是 6元集 ( 集合 ) 的排列问题 , 使用集合排序公式

P

(

n

,

r

)

P(n,r)

$P (n, r)$ 进行计算 ;

n

n

$n$ 元集的

r

r

$r$ 排列 , 计算公式如下 :

(

)

(

−

)

(

−

)

⋯

(

−

)

(

−

)

P(n,r)= n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) =\frac{n!}{(n-r)!}

$P (n, r) = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1) = \frac{n !}{( n - r ) !}$

② 计算过程 :

(

)

(

−

)

360

P(6,4) = \cfrac{6!}{(6-4)!} = \cfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 =360

$P (6, 4) = \frac{6 !}{( 6 - 4 ) !} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

问题 2 解答 :

① 如果字母允许重复 , 该文本本质上就是多重集的排列问题 ; 如果不限制其出现次数 , 多重集 ( 有

k

k

$k$ 种元素 ) 中选取

r

r

$r$ 个元素 , 可以使用公式

k

r

k^r

$k^{r}$ 进行计算 ;

② 结果是

6

4

=

1296

6^4=1296

$6^{4} = 1296$ ;

三、找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )

题目 :

1.条件 : 从 ${1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ 中选取不同的数字 ;
2.问题 :
$7$ 位数有多少 ; ( 这里不能出现

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 任意一个排列如

654

,

546

654 , 546

$654, 546$ 等 ) ;

解答 :

分析 :

1.正面计算 :
$4, 5, 6$ 不相邻的情况有很多 , 正面计算很困难 , 要考虑个不相邻 , 2个与 1个不相邻, 每个不相邻的数字之间的排列分布等情况 , 计算量很大 ;
2.寻找一一对应 : 这里先计算
$A$ ,

P

(

9

,

7

)

−

A

P(9,7) -A

$P (9, 7) - A$ 与

456

456

$456$ 不相邻的

7

7

$7$ 位数字 方案数是一一对应的 ;

计算

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 相邻的

7

7

$7$ 位数方案数 :

①

7

7

$7$ 位数中必定含有

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 三个数字 , 还需要选

4

4

$4$ 位数 ; 此处先统计下这三个数的全排列数 :

P

(

3

,

3

)

=

3

!

(

3

−

3

)

!

=

3

×

2

×

1

1

=

6

P(3,3) = \cfrac{3!}{(3-3)!} = \cfrac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6

$P (3, 3) = \frac{3 !}{( 3 - 3 ) !} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6$

② 一共有

9

9

$9$ 位数 , 其中

3

3

$3$ 位是必须要选择 , 那么还剩下

6

6

$6$ 位可选数字 , 从剩下的

6

6

$6$ 位数中选

4

4

$4$ 位数字 ;

(

)

(

−

)

360

P(6,4) = \cfrac{6!}{(6-4)!}=\cfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times1} = 360

$P (6, 4) = \frac{6 !}{( 6 - 4 ) !} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 360$

③

4

4

$4$ 位数字选好之后, 开始安排

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 相邻排列所在位置 ;

4

4

$4$ 个数字 , 其两端和中间

3

3

$3$ 个空隙 , 有

5

5

$5$ 个可选位置 ;

④

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 相邻的

7

7

$7$ 位数个数计算 :

(

)

(

)

360

10800

P(3,3) \times P(6,4) \times 5 = 6 \times 360 \times 5 =10800

$P (3, 3) \times P (6, 4) \times 5 = 6 \times 360 \times 5 = 10800$

⑤

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 不相邻的

7

7

$7$ 位数等价于任意

7

7

$7$ 位数个数减去

4

,

5

,

6

4,5,6

$4, 5, 6$ 相邻的

7

7

$7$ 位数个数 ;

(

)

−

10800

−

10800

181440

−

10800

17064

P(9,7)-10800 = \cfrac{9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{2\times1} - 10800 = 181440 - 10800 = 17064

$P (9, 7) - 10800 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} - 10800 = 181440 - 10800 = 17064$

四、圆排列问题 1

题目 :

1.条件 :
$5$ 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
2.问题
$1$ : 每对夫妻相邻 , 有多少种方案 ;

解析 :
灵活使用圆排列公式 :

n

n

$n$ 元集

S

S

$S$ 的环形

r

−

r-

$r -$ 排列数 :

(

)

(

−

)

\cfrac{P(n,r)}{r} = \cfrac{n!}{r(n-r)!}

$\frac{P ( n , r )}{r} = \frac{n !}{r ( n - r ) !}$

解答 :
① 先让

5

5

$5$ 男坐下 , 使用公式计算

5

5

$5$ 元集

S

S

$S$ 的环境

5

−

5-

$5 -$ 排列;

(

)

\cfrac{P(5,5)}{5} = \cfrac{5!}{5\times1} =4!= 4\times3\times2\times1=24

$\frac{P ( 5 , 5 )}{5} = \frac{5 !}{5 \times 1} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

② 每个妻子都有两种选择 , 坐在丈夫左边或者右边 , 有

2

5

=

32

2^5=32

$2^{5} = 32$ 种选择 ;

③ 根据乘法原则 : 共有

24

×

32

=

768

24\times32=768

$24 \times 32 = 768$ 种方案 ;

五、集合交替排列问题

题目 :

1.条件 :
$5$ 个理科生坐一排 ;
2.问题
$1$ : 有多少不同排法 ;
3.问题
$2$ : 交替坐成一排有多少种排法 ;

解答 :

问题

1

1

$1$ :

① 没有要求坐一排的话就是 10 个人的全排列

P

(

10

,

10

)

P(10, 10)

$P (10, 10)$ ; 计算过程如下 :

(

)

(

−

)

3628800

P(10,10) = \cfrac{10!}{(10 - 10)!}=\cfrac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{1}=3628800

$P (10, 10) = \frac{1 0 !}{( 1 0 - 1 0 ) !} = \frac{1 0 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 3628800$
② 结果是 3628800 种不同的排法 ;

问题

2

2

$2$ :

① 计算

5

5

$5$ 个文科生作成一拍的全排列 :

(

)

(

−

)

120

P(5,5) = \cfrac{5!}{(5-5)!}=5\times4\times3\times2\times1 = 120

$P (5, 5) = \frac{5 !}{( 5 - 5 ) !} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

② 计算

5

5

$5$ 个理科生坐成一排的全排列 :

(

)

(

−

)

120

P(5,5) = \cfrac{5!}{(5-5)!}=5\times4\times3\times2\times1 = 120

$P (5, 5) = \frac{5 !}{( 5 - 5 ) !} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

③

5

5

$5$ 个文科生和

5

5

$5$ 个理科生交替排成一排 , 那么有两种插空方式 : 计算最终结果 :

(

)

(

)

120

14400

28800

P(5,5) \times P(5,5) \times 2 = 120 \times 120 \times 2 =14400 \times 2=28800

$P (5, 5) \times P (5, 5) \times 2 = 120 \times 120 \times 2 = 14400 \times 2 = 28800$

④ 最终结果是有

28800

28800

$28800$ 种方案数 ;

六、圆排列问题 2

题目 :

1.条件 :
$4$ 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
2.问题
$1$ : 没有任何限制条件就座 , 有多少种方案 ;
2.问题
$1$ : 4男 4女排成一排 , 有多少种方案 ;
2.问题
$1$ : 夫妻相邻 , 有多少种方案 ;

解答 :

问题

1

1

$1$ :

① 没有任何限制条件的圆排列 , 使用公式

n

n

$n$ 元集的环形

r

−

r-

$r -$ 排列个数 :

P

(

n

,

r

)

r

\cfrac{P(n,r)}{r}

$\frac{P ( n , r )}{r}$ ;

②计算过程如下 :

(

)

(

−

)

5040

\cfrac{P(8,8)}{8}=\cfrac{8!}{8\times(8-8)!}=7!=5040

$\frac{P ( 8 , 8 )}{8} = \frac{8 !}{8 \times ( 8 - 8 ) !} = 7! = 5040$

问题

2

2

$2$ :

① 男女交替排法 : 先排列 4男全排列

P

(

4

,

4

)

P(4,4)

$P (4, 4)$ , 再排列 4女全排列

P

(

4

,

4

)

P(4,4)

$P (4, 4)$ , 在进行交替插空 , 有两种方案 ;

② 最终结果是 :

(

)

(

)

1152

P(4,4)\times P(4,4)\times 2 = 1152

$P (4, 4) \times P (4, 4) \times 2 = 1152$

问题

3

3

$3$ :
① 夫妻相邻就座 : 首先让丈夫圆排列

P

(

4

,

4

)

4

=

3

!

=

6

\cfrac{P(4,4)}{4} = 3! =6

$\frac{P ( 4 , 4 )}{4} = 3! = 6$ , 然后让妻子坐在丈夫左边或右边 , 每人两种选择

2

4

=

16

2^4=16

$2^{4} = 16$ 种选择 ;

② 最终结果是

96

96

$96$ 种 ;

七、推广的牛顿二项式公式

二项式定理 :

(

)

∑

(

)

−

(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^ky^{n-k}

$(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k}$

牛顿二项式公式 :

(

)

∑

(

)

(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^k

$(1 + x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k}$

牛顿二项式公式变体 :

(

)

∑

(

)

(1+ax)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kx^k

$(1 + a x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} x^{k}$

推广的牛顿二项式公式 :

(

)

−

∑

(

−

)

(1+x)^{-n}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{-n}{k}x^k

$(1 + x)^{- n} = k = 0 \sum n (k - n) x^{k}$

八、二项式展开问题

题目 :

条件 : $(1+2x)^n (1+2x)n 展开 , ( 1 ≤ k ≤ n ) ( 1 \leq k \leq n)$
$(1 \leq k \leq n)$
问题 : 其中 $x^k$
$x^{k}$ 的系数是多少 ;

问题分析 :

① 二项式定理 : $y)^n = \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} x^k y^{n-k}$
$(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k}$
② 推论 : $x)^n = \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} x^k$
$(1 + x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{k}$
③ 换元法 : 使用
$x$ 替换 :

(

)

∑

(

)

(

)

∑

(

)

\begin{array}{lcl} (1 + ax)^n & = & \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} (ax)^k \\ & = & \sum^{n}_{k=0} \dbinom{n}{k} a^k x^k \end{array}

$(1 + a x)^{n} = = \sum_{k = 0}^{n} (k n) (a x)^{k} \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{k} x^{k}$

解答 :

① 根据牛顿二项式的推广公式 :

(

)

∑

(

)

(1+ax)^n = \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^kx^k

$(1 + a x)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} x^{k}$

②

(

1

+

2

x

)

n

(1+2x)^n

$(1 + 2 x)^{n}$ 的

x

k

x^k

$x^{k}$ 项为 :

(

n

k

)

2

k

x

k

\dbinom{n}{k} 2^kx^k

$(k n) 2^{k} x^{k}$

x

k

x^k

$x^{k}$ 前面的系数是

(

n

k

)

2

k

\dbinom{n}{k} 2^k

$(k n) 2^{k}$

【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )

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一、集合排列和多重集排列问题 1

二、集合排列和多重集排列问题 2

三、找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )

四、圆排列问题 1

五、集合交替排列问题

六、圆排列问题 2

七、推广的牛顿二项式公式

八、二项式展开问题

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一、集合排列 和 多重集排列问题 1

二、 集合排列 和 多重集排列问题 2

三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )

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五、 集合交替排列问题

六、 圆排列问题 2

七、 推广的牛顿二项式公式

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